Geometría

La teoría de Piaget. Percepción: conocimiento de los objetos resultante del contacto directo con ellos.Representación: comporta la evocación de los objetos en ausencia dEl orden de reconocimiento es el siguiente: 1ºse reconoce el anillo (tiene un agujero, que es una propiedad topológica)2ºse reconoce el círculo (se diferencia claramente de los lados rectos, propiedad proyectiva).el cuadrado y por último el paralelogramo (que tiene ángulos no rectos.El reconocimiento por el tacto lo logran casi todos los niños a los tres años y medio, y el orden al reconocerlos es: círculo, cuadrado, triángulo y rombo.Sin embargo la capacidad para reproducirlos mediante un dibujo se adquiere de forma más lenta y sólo se completa alrededor de los siete años (con las figuras aquí presentadas).El modelo de Van Hiele tiene dos aspectos:Prescriptivo, donde propone unas pautas a seguir en la organización de la enseñanza, que se concretan en  una secuencia de etapas que permita pasar de un nivel al siguienteDescriptivo, donde  intenta explicar el aprendizaje de los conceptos geométricos, mediante la división del conocimiento geométrico de un individuo en una serie de niveles que permiten categorizar las potencialidades del individuo en este terreno. Estos niveles son considerados como eslabones de una cadena en la que, progresivamente, se van consiguiendo cotas más elevadas y abstractas de competencia geométrica.Nivel 0: Visualización.Los objetos de pensamiento en este nivel son figuras que se conciben por su aparienciaLa percepción es global. Se suelen incluir atributos no esenciales.La percepción de las figuras es individual. No se generaliza a otras figuras de la misma claseLos productos del pensamiento en el nivel 1 son las propiedades de las figuras.Mediante la observación y la experimentación el individuo comienza a discernir las características de las figurasNivel 1: Análisis. El razonamiento a este nivel incluye el descubrimiento y la generalización a partir de pocos casos.Las definiciones no tienen sentido, en ellas faltan condiciones necesarias y se pueden incluir otras irrelevantes.Las clasificaciones son en muchos casos excluyentes.Nivel 2: Deducción informalLos objetos del pensamiento en este nivel son las propiedades de las figuras.Se utilizan las definiciones con un sentido matemáticoSe comprenden las clasificaciones no exclusivasPor ejemplo, cuando a un rombo se le exige que tenga un ángulo recto, entonces tiene sus cuatro ángulos de 90º, con lo que se reconoce al cuadrado como un tipo de romboNivel 3: Deducción formal. Los objetos del pensamiento en este nivel son relaciones entre propiedades de las figuras.son capaces de trabajar con enunciados abstractos sobre propiedades geométricas y llegar a conclusiones basadas más sobre la lógica que sobre la intuición. por ejemplo en este nivel se puede reconocer que las diagonales de un rectángulo se cortan en su punto medio, lo mismo que un alumnos del nivel 2, sin embargo en el nivel 3 se aprecia la necesidad de probar esto a partir de argumentos deductivos.En este nivel se es capaz de construir una demostración o una prueba de una propiedad conociendo determinadas condiciones previas.Nivel 4: Rigor.Los objetos del pensamiento en este nivel son sistemas axiomáticos para la geometría.se pueden apreciar las diferencias entre distintos sistemas axiomáticos y se pueden establecer comparaciones entre ellos.  Por ejemplo se puede establecer el axioma de que dos rectas paralelas se cortan, con lo que se pueden obtener resultados en la geometría proyectiva y compararlos con los obtenidos en geometría euclídea. Es manejar la Geometría en su más alto grado de abstracción.Para conseguir el paso de un nivel a otro,  los Van Hiele proponen cinco fases en la enseñanza de los contenidos a tratar en cada momento, estas son:1. Indagación/Exploración. El profesor interroga a los alumnos para conocer sus conocimientos previos, se proponen actividades simples para explorar la información que tienen sobre los contenidos a tratar,  se introduce el vocabulario específico. Por ejemplo, ¿qué es un rectángulo?, ¿qué es un cuadrado?, ¿en qué se parecen?, ...2. Orientación dirigida.Se proponen actividades que el profesor ha elaborado y secuenciado cuidadosamente, de modo que el éxito del alumno esté garantizado. Al tiempo, tales actividades deben ir revelando las propiedades de los objetos de estudio3. Explicitación. A partir de las experiencias anteriores, los alumnos deben expresar e intercambiar sus resultados y  observaciones, de modo que el lenguaje se potencie. El papel del profesor en esta fase se reduce al mínimo.4. Orientación libre.Se le proponen al alumno tareas cada vez más complejas, que pueden resolverse de distintos modos, en las que deben decidir qué hacer en cada momento, establecer conjeturas, verificarlas o refutarlas, etc.. Se trata de proponer actividades abiertas o cerradas, que incentiven su interés por la investigación de cuestiones desconocidas.5. Integración. Los alumnos analizan y resumen lo que han aprendido con objeto de tener una perspectiva nueva y más amplia de la nueva red de objetos y relaciones que han estudiado. La labor del profesor se hace aquí imprescindible para ayudar en la síntesis de los resultados más destaca2  Al final de esta fase los alumnos deben haber alcanzado el siguiente nivel en la comprensión de los conceptos geométricos.Vinner y la formación de conceptos.En la teoría de Vinner se establece una diferenciación entre: un concepto y la imagen de ese concepto. Concepto: es lo que se desprende de la definición matemática. Ejemplo: un cuadrado es un cuadrilátero con los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos iguales. Imagen de un concepto: es la idea que una persona se forma de lo que es ese concepto.Las características (propiedades o atributos) en cualquier ejemplo de un concepto pueden ser:Atributos relevantes: cada una de las características que tiene que cumplir un caso necesariamente para ser un ejemplo de ese concepto. Ejemplo: para el cuadrado son relevantes, ser polígono, de cuatro lados, con todos los lados iguales y todos los ángulos iguales.Atributos irrelevantes: son las características que no cumplen todos los casos de ese concepto.Ejemplo: para el paralelogramo son irrelevantes, tener los lados iguales o tener los ángulos rectos.Definición: Sólo hay atributos relevantes. Debe ser un conjunto mínimo de atributos que sea suficiente para poder obtener todos los demás.Ejemplo: Tiene que tener todos los atributos relevantes, aunque también podrá tener otros atributos irrelevantes.Contraejemplo: No tiene todos los atributos relevantes, aunque también podrá tener otros atributos irrelevantes.