Números complejos

Dado

Forma polar

Sistemas

Muestreador

Tiempo

equivale a tomando muestras cada T segundos.

Frecuencia

equivale a con amplitud y frecuencia

Diezmador

Tiempo

Se elimina una de cada M muestras.

Frecuencia

La amplitud se escala por y la frecuencia se multiplica (expande) por M. La fase se divide por M.

La frecuencia de muestreo debe ser:

Insertaceros

Tiempo

Se insertan L-1 ceros entre muestra y muestra

Frecuencia

Divide (comprime) la frecuencia por un factor L, la amplitud no se modifica. La fase se multiplica por L.

Retardo

Tiempo

Retarda la señal

Frecuencia

La frecuencia no se modifica, la fase se retarda .

Relaciones

Cálculo de la recta pendiente

Serie geométrica

De la forma . Su suma es:

Transformada discreta de Fourier

Definición

Inversa

FFT mediante diezmado en el tiempo

Se cogen las muestras pares de la señal y se envían a una DFT de puntos, y se hace lo mismo con las muestras impares. La salida de la DFT con las muestras impares se multiplica por y se suman a las muestras pares. A su vez, las DFT de puntos se pueden resolver de esta misma manera, realizando recursivamente hasta obtener una DFT de dos puntos, cuyo resultado es:

Transformada Z

• Ceros: raíces del numerador
• Polos: raíces del denominador

Definición

Relación TF?TZ

Transformada Z inversa

Dada .

Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador:

• Se realiza la división polinómica de que se quedará de la forma
• El resultado será:

Si no:

• y se descompone en fracciones simples de la forma donde
• Se vuelve a calcular
• Se calcula la transformada Z inversa de cada sumando:

Información sobre sistemas

Diseño de filtros digitales

• Representamos la atenuación ? (dB) y en escala logarítmica (ganancia, G=-A en db; en lineal g=1/a), y también según las especificaciones analógicas |H(?)| (después de haber calculado?_p y ?_a).
• Obtenemos las especificaciones analógicas ( ). Podemos hacerlo mediante dos métodos:
• Invarianza al Impulso:

, por comodidad

• Transformación Bilineal:

por comodidad

Las alfas tienen el mismo valor, no hace falta hacerles ninguna transformación.

• Calculamos el orden (N):

En el examen N= 2; si no es así, repasar las cuentas.

• Calculamos la frecuencia de corte:

• Para diseñar el filtro analógico nos pedirán que utilicemos Butterworth:

Sólo se utilizan los s_k estables que están en el semiplano izquierdo. Obtenemos los s_k y sustituimos en la ecuación de H(s).Calcular hasta que H(s) sólo dependa de s y el resto de variables sean numéricas.

• Deshacemos la transformación en frecuencia:
• Método Invarianza al Impulso:
  • Si:

• Si no:
  • • Se reduce H(s) a fracciones simples de la forma
    • Calcular:

• Método de Transformación Bilineal:
  • 

Comprobamos al calcular H(z) si está o no normalizado el filtro, es decir, si el número que queda sin z en el denominador es mayor a uno; si es así dividimos todo entre este valor para normalizar el filtro.

• Una vez tenemos H(z), hacemos el diagrama de bloques en forma canónica, haciendo la ecuación en diferencias (la ecuación en diferencias es para el dominio del tiempo).

, el grado de z es el número del retardo