Ajuste por Mínimos Cuadrados: Conceptos y Aplicaciones en Topografía

Ajuste por Mínimos Cuadrados

El ajuste por mínimos cuadrados minimiza los efectos de los errores aleatorios utilizando observaciones, parámetros, residuos y constantes para establecer un modelo funcional.

Métodos Fundamentales del Ajuste por Mínimos Cuadrados

• Igual precisión: (ô = v^t * v -> ô = v₁² + v₂² + ...)? v¹₂ = mínimo
• Distinta precisión: (ô = v^t * p * v)

• Paramétrico: Se plantean tantas ecuaciones como observaciones. Pueden aparecer parámetros, observaciones, residuos y constantes. El número mínimo de parámetros coincide con el número de observaciones. Solo hay una observación por ecuación. Todas las ecuaciones son lineales. [v(0, 1); A(n, n₀); x(n_o, 1); L(n, 1)]
• Ecuación de condición: Tantas ecuaciones como observaciones redundantes. Deben aparecer residuos, observaciones y constantes. Las ecuaciones deben ser lineales. [B(r, n); V(n, 1); D(r, 1)]

Modelo Matemático y Estocástico

• Matemático: Toda observación tiene errores aleatorios, son inevitables y se usa el ajuste para minimizarlos (el número mínimo de observaciones es igual a una solución única).
• Estocástico: Evalúa las observaciones que experimentan las observaciones (estadística y probabilidad). El valor que toman las variables depende de la precisión requerida.

Conceptos

• Peso: Valor por el que se multiplica cada observación, según su precisión, para que en el resultado importen las observaciones más precisas. Es adimensional y está relacionado con la precisión.
• Varianza: Mide la dispersión de las observaciones. Tiene una relación inversa con la precisión (+ dispersión - precisión).
• Covarianza: Valor que expresa la correlación entre dos o más observaciones (p = ?₀² / ?²).
• Matriz varianza-covarianza: Tiene como diagonal principal todas las varianzas de las observaciones y el resto son covarianzas. Se convierte en matriz de varianza cuando no hay correlación entre las observaciones, siendo la diagonal principal las varianzas y el resto 0.
• Matriz de pesos: Diagonal principal formada por los pesos de las observaciones y los demás elementos son 0.
• Matriz cofactor: Inversa de la matriz de pesos. Se obtiene dividiendo cada término de ? por la varianza de referencia.
• Relación entre matriz de covarianza y matriz de pesos: La matriz de pesos puede ser no diagonal en caso de que haya correlación entre las diagonales (?_ll = ?₀² * Q_ll -> como Q_ll = P_ll^-1 -> ?_ll = ?₀² * p_ll^-1 -> P_ll = ?₀² * ?_ll^-1).
• Varianza de referencia a posteriori: (?₀² = (v^t * p * v) / r)

Ley de Propagación de Varianzas-Covarianzas

• Caso lineal: Determinar la matriz de covarianza del vector Y que es función lineal de un vector aleatorio X. Cada matriz de covarianza se conoce. Y = xa; y(m, 1); A(m, n); x(n, 1). ?yy = E[(y - E[y]) * (y - E[y])^t]. Sabemos que E[y] = AE[x], entonces: ?yy = E[(Ax - AE[x]) * (Ax - AE[x])^t] = E[A(x - E[x]) * (x - E[x])^t * A^t] = AE[(x - E[x])(x - E[x])^t] * A^t. ?yy = A * ?xx * A^t
• Caso no lineal: Es una variable aleatoria que es una función no lineal de otra variable X. Y = g(x). Hay que linealizar la función a partir del valor inicial X₀: [y = G(x₀) + (dG/dX)₀ * (x - x₀)]. Y la función lineal queda [y = G(x₀) + J(x - x₀)]. J (matriz jacobiana de y respecto a x calculada en X₀). E[y] = E[G(x₀) + J(x - x₀)] = G(x₀) + J(E[x] - x₀); Y - E[y] = G(x₀) + J(x - x₀) - G(x₀) - J(E[x] - x₀) = J(x - E[x]); ?yy = E[J(x - E[x]) * (x - E[x])^t * J^t] = JE[(x - E[x]) * (x - E[x])^t]; ?yy = J * ?xx * J^t

Elipse de Error

Elipse de error estándar centrada en el origen (2 métodos)

1. Rotación de ángulo ©: Se considera la matriz de covarianza, e igualando términos:
   1. ?x´² = ?x² * cos²© + 2?xy * sen© * cos© + ?y² * sen²©
   2. ?y`² = ?x² * sen²© - 2?xy * sen© * cos© + ?y² * cos²©
   3. © = (?y² - ?x²) * sen© * cos© + ?xy(cos²© - sen²©)
   tg2© = (2?xy) / (?x² - ?y²); eliminando ©: ?x` = ?(a + b); ?y` = ?(a - b)
2. Diagonalización de la matriz de covarianza de los parámetros (?xx): Siendo A una matriz cuadrada (nxn), tenemos que llegar a valores de q que satisfagan la condición [Ax = @x?(A - @i) = 0; |A - @i| = 0]. Desarrollando el determinante se obtiene la ecuación característica. Estas raíces @₁, @₂... @_n, son valores propios y formarán con el polinomio los ejes de la elipse. © lo hallaremos con la ecuación anterior. tg2© = (2?xy) / (?x² - ?y²)

Elipse de error asociada a una cierta probabilidad

Se consideran incorrelacionados los errores aleatorios en x, y. Si son correlacionados, se transforman en incorrelacionados rotando el ángulo ©. Suponemos p = 0, la elipse de error será [(x/?x)² + (y/?y)² = c²]. Como x, y son variables aleatorias independientes normalmente distribuidas [u = (x´/?x´)² + (y´/?y´)²] que sigue una distribución chi-cuadrado con 2 grados de libertad y función de densidad [f(u) = (e^-u/2) / 2]. (c = altura a la que cogemos la distribución normal tridimensional). La probabilidad de que la posición dada por x, y esté en el interior de la elipse es: P[(x/?x)² + (y/?y)² ? c²] = P[u² ? c²] = â_o^c2(e^-(u/2)du) = 1 - e^-c2/2 = P. (semieje mayor: ?x`` = c * ?x`) (semieje menor: ?y`` = c * ?y`).

Familia de Elipses de Error y Estándar

La ecuación que representa todas las elipses de error posibles centradas en el origen se conoce como familia de elipses de errores. [(x/?x)² - 2P(x/?x) * (y/?y) + (y/?y)² = (1 - p²) * c²]. Si c = 1, se obtiene la ecuación de la elipse de error estándar. El tamaño y la orientación de la elipse dependen de los parámetros ?x, ?y, ?z. Se utiliza en topografía para determinar el intervalo de confianza y obtener la posición estándar de los puntos.

Deducción de la Matriz Varianza-Covarianza

Deducir la matriz de covarianza de los residuos (ecuación de condición)

V = Q * b^t * k; k = -Qe^-1 = -Pe * D; Qkk = -Pe * Qdd * (-Pe)^t; Qkk = Pe^t = Pe // Qvv = Q + B^t * Qkk * (QB^t)^t = QB^t * Qe^-1 * BQ // ?vv = ?₀² * Qvv = ?₀² * QB^t * Qe^-1 * BQ

Deducir la expresión de la matriz varianza-covarianza asociada al vector de residuos (paramétrico)

x = N^-1t // Qxx = N^-1 * Qtt(N^-1)^t = N^-1N(-N^-1)t = N^-1 // t = A^t * p * L // Qtt = (A^t * P) * Qee(At * p)^t = At * P * A = N // ?xx = ?₀² * Qxx = ?₀² * N^-1. ?LL = ?₀² * QLL; BV + d = 0; Q = QLL // d = B * L - L0 ? Qdd = B * QLL * Bt = NB // K = -NB-1