Análisis Detallado de Funciones y Cálculo Integral

f(x) = e^x(x - 2) No tiene asíntotas verticales ni horizontales en (+∞). Tiene una asíntota horizontal en y = 0 en (-∞).

lim_x→-∞ f(x) = lim_x→+∞ (-x - 2) / e^x = ∞/∞. Aplicando L'Hôpital: lim_x→+∞ = 1/∞ = 0

f'(x) = e^x(x - 2) + e^x(1) = e^x(x - 1). f'(x) = 0 cuando (x - 1) = 0, ya que e^x nunca se anula.

f'(0) < 0 (decreciente para x < 1). f'(2) > 0 (creciente para x > 1). En x = 1 hay un mínimo relativo con valor -e.

f''(x) = e^x(x). f''(-1) < 0 (cóncava para x < 0). f''(1) > 0 (convexa para x > 0). En x = 0 hay un punto de inflexión con f(0) = -2.

Cálculo de Integrales

a) ∫₂³ f(x) dx b) ∫₂³ (5f(x) - 7) dx c) ∫₂³ (F(x))² f(x) dx

a) ∫₂³ f(x) dx = [F(x)]₂³ = F(3) - F(2) = 2 - 1 = 1

b) ∫₂³ (5f(x) - 7) dx = 5∫₂³ f(x) dx - 7∫₂³ dx = [5F(x) - 7x]₂³ = (5F(3) - 7(3)) - (5F(2) - 7(2)) = 10 - 21 - 5 + 14 = -2

c) ∫₂³ (F(x))² f(x) dx = ∫₂³ (F(x))² F'(x) dx = [F(x)³ / 3]₂³ = (F(3)³ / 3) - (F(2)³ / 3) = 2³ / 3 - 1³ / 3 = 7/3

Cálculo de Límites

lim_x→0 (a·sen(x) - xe^x) / x² = lim_x→0 [a·cos(x) - (e^x + x·e^x)] / 2x = (a - 1) / 0

Para que el límite exista, a - 1 = 0, por lo tanto a = 1. Aplicando L'Hôpital nuevamente:

lim_x→0 [a·cos(x) - (e^x + x·e^x)] / 2x = lim_x→0 [-sen(x) - (e^x + e^x + x·e^x)] / 2 = -2 / 2 = -1

Descomposición en Fracciones Simples e Integración

f(x) = 2 / (x² - 1), con x ≠ -1 y x ≠ 1. 2 / (x² - 1) = 2 / [(x - 1)(x + 1)] = A / (x - 1) + B / (x + 1)

[A(x + 1) + B(x - 1)] / [(x - 1)(x + 1)]. Si x = -1, B(-2) = 2, entonces B = -1. Si x = 1, A(2) = 2, entonces A = 1.

F(x) = ∫ 2 / (x² - 1) dx = ∫ 2 / [(x - 1)(x + 1)] dx = ∫ A / (x - 1) dx + ∫ B / (x + 1) dx = ∫ 1 / (x - 1) dx + ∫ -1 / (x + 1) dx = ln|x - 1| - ln|x + 1| + k

∫₂^k (2 dx) / (x² - 1) = [ln|x - 1| - ln|x + 1|]₂^k = (ln|k - 1| - ln|k + 1|) - (ln(1) - ln(3)) = ln[(k - 1) / (k + 1)] + ln(3)

ln[(k - 1) / (k + 1)] = ln(2) - ln(3) = ln(2/3). 3k - 3 = 2k + 2, por lo tanto k = 5

Problema de Optimización

Alambre. Área del rectángulo + Área del cuadrado = 2a² + b²

6a = x, a = x / 6. 4b = 2 - x, b = (2 - x) / 4. A(x) = 2(x² / 36) + (2 - x)² / 16

A'(x) = 4x / 36 - 2(2 - x) / 16. A'(x) = 0 cuando 17x = 18, por lo tanto x = 18 / 17 m.

A''(x) = 4 / 36 + 2 / 16 > 0. x = 18 / 17 m. 2 - x = 2 - (18 / 17) = 16 / 17 m.

Cálculo de Áreas entre Curvas

y = 4x, y = 8 - 4x, y = 2x - x²

y = 4x pasa por (0, 0) y (1, 4)

y = 8 - 4x pasa por (1, 4) y (2, 0)

y = 2x - x² pasa por (0, 0) y (2, 0). Su vértice es V(1, 1)

Intersecciones: 4x = 8 - 4x, 8x = 8, x = 1

4x = 2x - x², x² + 2x = 0, x = 0, x = -2

8 - 4x = 2x - x², x² - 6x + 8 = 0, x = 2, x = 4

∫_-2⁰ [(2x - x²) - (4x)] dx + ∫₀¹ [(4x) - (2x - x²)] dx + ∫₁² [(8 - 4x) - (2x - x²)] dx + ∫₂⁴ [(2x - x²) - (8 - 4x)] dx = ∫_-2⁰ [-2x - x²] dx + ∫₀¹ [2x + x²] dx + ∫₁² [x² - 6x + 8] dx + ∫₂⁴ [-x² + 6x - 8] dx = [-x² - x³ / 3]_-2⁰ + [x² + x³ / 3]₀¹ + [x³ / 3 - 3x² + 8x]₁² + [-x³ / 3 + 3x² - 8x]₂⁴ = 4/3 + 4/3 + 20/3 - 16/3 - 16/3 + 20/3 = 20/3 u²

Análisis de Función Logarítmica

f(x) = ln(x² + 3x + 3) - x. f'(x) = [(2x + 3) / (x² + 3x + 3)] - 1 = (-x² - x) / (x² + 3x + 3). f'(x) = 0 cuando -x² - x = 0, es decir, x(x - 1) = 0, por lo tanto x = 0 y x = -1.

f'(-2) < 0 (decreciente en (-∞, -1)). f'(-0.1) > 0 (creciente en (-1, 0)).

f'(1) < 0 (decreciente en (0, +∞)). En x = -1 hay un mínimo relativo con f(-1) = ln(1) + 1 = 1. En x = 0 hay un máximo relativo con f(0) = ln(3).

f(-2) = ln(1) - (-2) = 2. f'(-2) = -2. La recta tangente en x=-2 es y - 2 = ½(x + 2)