Análisis Detallado de Funciones y Cálculo Integral
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f(x) = ex(x - 2) No tiene asíntotas verticales ni horizontales en (+∞). Tiene una asíntota horizontal en y = 0 en (-∞).
limx→-∞ f(x) = limx→+∞ (-x - 2) / ex = ∞/∞. Aplicando L'Hôpital: limx→+∞ = 1/∞ = 0
f'(x) = ex(x - 2) + ex(1) = ex(x - 1). f'(x) = 0 cuando (x - 1) = 0, ya que ex nunca se anula.
f'(0) < 0 (decreciente para x < 1). f'(2) > 0 (creciente para x > 1). En x = 1 hay un mínimo relativo con valor -e.
f''(x) = ex(x). f''(-1) < 0 (cóncava para x < 0). f''(1) > 0 (convexa para x > 0). En x = 0 hay un punto de inflexión con f(0) = -2.
Cálculo de Integrales
a) ∫23 f(x) dx b) ∫23 (5f(x) - 7) dx c) ∫23 (F(x))2 f(x) dx
a) ∫23 f(x) dx = [F(x)]23 = F(3) - F(2) = 2 - 1 = 1
b) ∫23 (5f(x) - 7) dx = 5∫23 f(x) dx - 7∫23 dx = [5F(x) - 7x]23 = (5F(3) - 7(3)) - (5F(2) - 7(2)) = 10 - 21 - 5 + 14 = -2
c) ∫23 (F(x))2 f(x) dx = ∫23 (F(x))2 F'(x) dx = [F(x)3 / 3]23 = (F(3)3 / 3) - (F(2)3 / 3) = 23 / 3 - 13 / 3 = 7/3
Cálculo de Límites
limx→0 (a·sen(x) - xex) / x2 = limx→0 [a·cos(x) - (ex + x·ex)] / 2x = (a - 1) / 0
Para que el límite exista, a - 1 = 0, por lo tanto a = 1. Aplicando L'Hôpital nuevamente:
limx→0 [a·cos(x) - (ex + x·ex)] / 2x = limx→0 [-sen(x) - (ex + ex + x·ex)] / 2 = -2 / 2 = -1
Descomposición en Fracciones Simples e Integración
f(x) = 2 / (x2 - 1), con x ≠ -1 y x ≠ 1. 2 / (x2 - 1) = 2 / [(x - 1)(x + 1)] = A / (x - 1) + B / (x + 1)
[A(x + 1) + B(x - 1)] / [(x - 1)(x + 1)]. Si x = -1, B(-2) = 2, entonces B = -1. Si x = 1, A(2) = 2, entonces A = 1.
F(x) = ∫ 2 / (x2 - 1) dx = ∫ 2 / [(x - 1)(x + 1)] dx = ∫ A / (x - 1) dx + ∫ B / (x + 1) dx = ∫ 1 / (x - 1) dx + ∫ -1 / (x + 1) dx = ln|x - 1| - ln|x + 1| + k
∫2k (2 dx) / (x2 - 1) = [ln|x - 1| - ln|x + 1|]2k = (ln|k - 1| - ln|k + 1|) - (ln(1) - ln(3)) = ln[(k - 1) / (k + 1)] + ln(3)
ln[(k - 1) / (k + 1)] = ln(2) - ln(3) = ln(2/3). 3k - 3 = 2k + 2, por lo tanto k = 5
Problema de Optimización
Alambre. Área del rectángulo + Área del cuadrado = 2a2 + b2
6a = x, a = x / 6. 4b = 2 - x, b = (2 - x) / 4. A(x) = 2(x2 / 36) + (2 - x)2 / 16
A'(x) = 4x / 36 - 2(2 - x) / 16. A'(x) = 0 cuando 17x = 18, por lo tanto x = 18 / 17 m.
A''(x) = 4 / 36 + 2 / 16 > 0. x = 18 / 17 m. 2 - x = 2 - (18 / 17) = 16 / 17 m.
Cálculo de Áreas entre Curvas
y = 4x, y = 8 - 4x, y = 2x - x2
y = 4x pasa por (0, 0) y (1, 4)
y = 8 - 4x pasa por (1, 4) y (2, 0)
y = 2x - x2 pasa por (0, 0) y (2, 0). Su vértice es V(1, 1)
Intersecciones: 4x = 8 - 4x, 8x = 8, x = 1
4x = 2x - x2, x2 + 2x = 0, x = 0, x = -2
8 - 4x = 2x - x2, x2 - 6x + 8 = 0, x = 2, x = 4
∫-20 [(2x - x2) - (4x)] dx + ∫01 [(4x) - (2x - x2)] dx + ∫12 [(8 - 4x) - (2x - x2)] dx + ∫24 [(2x - x2) - (8 - 4x)] dx = ∫-20 [-2x - x2] dx + ∫01 [2x + x2] dx + ∫12 [x2 - 6x + 8] dx + ∫24 [-x2 + 6x - 8] dx = [-x2 - x3 / 3]-20 + [x2 + x3 / 3]01 + [x3 / 3 - 3x2 + 8x]12 + [-x3 / 3 + 3x2 - 8x]24 = 4/3 + 4/3 + 20/3 - 16/3 - 16/3 + 20/3 = 20/3 u2
Análisis de Función Logarítmica
f(x) = ln(x2 + 3x + 3) - x. f'(x) = [(2x + 3) / (x2 + 3x + 3)] - 1 = (-x2 - x) / (x2 + 3x + 3). f'(x) = 0 cuando -x2 - x = 0, es decir, x(x - 1) = 0, por lo tanto x = 0 y x = -1.
f'(-2) < 0 (decreciente en (-∞, -1)). f'(-0.1) > 0 (creciente en (-1, 0)).
f'(1) < 0 (decreciente en (0, +∞)). En x = -1 hay un mínimo relativo con f(-1) = ln(1) + 1 = 1. En x = 0 hay un máximo relativo con f(0) = ln(3).
f(-2) = ln(1) - (-2) = 2. f'(-2) = -2. La recta tangente en x=-2 es y - 2 = ½(x + 2)