Análisis de Funciones y Cálculo de Volúmenes en Matemáticas

Funciones y Límites

f(x) = 5x - 13 si x <= -2 y x^2 + 2x - 13 si -2 < x < 7 y V7 + 12 si x >= 7

lim_x->-2 5*-x - 13 = -23 // lim_x->7 7^2 + 2*7 - 13 = 50 //

lim_x->-2 -2^2 + 2x - 13 = -21 // lim_x->7 V7 - 7 + 12 = 12 //

No existe continuidad en -2 / No existe continuidad en 7

Recta Tangente y Normal

y = x^3 - 2x^2 + 4 (x=2, y=4) Ecuación de la recta: y - y₁ = M*(x - x₁)

1) Recta tangente

y' = x^3 - 2x^2 + 4 = 3x^2 - 4x Ahora reemplaza x:

= 3*2^2 - 4*2 = 4 mt //

2) Recta normal m_n = -1/m_t => -1/4

y - y₁ = m*(x - x₁) => y - 4 = -1/4 (x - 2) =>

y = -1/4x + 1/2 + 4 => y = -1/4x + 9/2 //

3) y - y₁ = M*(x - x₁)

y - 4 = 4*(x - 2) => y = 4x - 8 + 4 => y = 4x - 4

Puntos Críticos y de Inflexión

y = 2x^4 - x^3 - 9x^2 - 4x + 4 => y' = 8x^3 + 3x^2 - 18x - 4 =>

solve = x₁ = 1.4, x₂ = -0.2, x₃ = -1.6

1) Puntos críticos

2) -00 | -1.6 | -0.2 | | 1.4 | | 00+

(x, -1.6) | - | 0 | + | | + |

(x, -0.2) | - | | - | 0 | + |

(x, 1.4) | - | | - | 0 | + |

f(x) | - | | + | - | | + |

-----> -----> ----->

min max min

3) Puntos de inflexión f''(x) y' = 8x^3 + 3x^2 - 18x - 4 = 24x^2 + 6x - 18

=> solve = x₁ = -1, x₂ = 3/4

-00 | -1 | | 3/4 | | 00+

(x, -1) | - | 0 | + | + |

(x, 3/4) | - | | - | 0 | + |

f(x) | + | | - | | + |

-----> ----->

max min

Ejes, Simetrías y Puntos

n eje y => x = 0 => 2*0^4 - 0^3 - 9*0^2 - 4*0 + 4 = 4

n eje x => y = 0 => 0 = 2x^4 - x^3 - 9x^2 - 4x + 4 => solve

=> x₁ = 2.5 // x₂ = 0.5 //

Simetrías eje y, eje x = no tiene

6) Puntos

x y

7) (por último graficar todos los puntos)

max = (1.4, f(1.4)) = 2*1.4^4 - 1.4^3 - 9*1.4^2 - 4*1.4 + 4 = -14.3 //

min₁ = (-1.6, f(-1.6)) = 2*(-1.6)^4 - (-1.6)^3 - 9*(-1.6)^2 - 4*(-1.6) + 4 = 4.5 //

min₂ = (-0.2, f(-0.2)) = 2*(-0.2)^4 - (-0.2)^3 - 9*(-0.2)^2 - 4*(-0.2) + 4 = 4.4 //

inf₁ = (-1, f(-1)) = 2*(-1)^4 - (-1)^3 - 9*(-1)^2 - 4*(-1) + 4 = 2 //

inf₂ = (3/4, f(3/4)) = 2*(3/4)^4 - (3/4)^3 - 9*(3/4)^2 - 4*(3/4) + 4 = -3.8 //

Área y Volumen

Área f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x, g(x) = x

x^3 - 3x^2 + 3x = x A = S (arriba) - (abajo) dx

x^3 - 3x^2 + 2x = 0 => solve = x₁ = 0 // x₂ = 1 // x₃ = 2 //

S(x^3 - 3x^2 + 3x) - (x)dx => S(x^3 - 3x^2 + 2x)dx =>

0

1

/ x^4/4 - x^3 + x^2 =>

0

(1^4/4 - 0^4/4) - (1^3 - 0^3) + (1^2 - 0^2) = 1/4 //

2

S(x) - (x^3 - 3x^2 + 3x)dx => S(-x^3 + 3x^2 - 2x)dx =>

1

2

/ -x^4/4 + x^3 - x^2 =>

1

(-(2)^4/4 - (-1)^4/4) - (2^3 - 1^3) + (2^2 - 1^2) = 1/4 //

a₁ = 1/4 + a₂ = 1/4 = 1/2 u²

Volumen

f(x) = x^2 + x + 2, g(x) = 2x + 8, x = 5 => graficar

V = π S (arriba)^2 - (abajo)^2 dx

x^2 + x + 2 = 2x + 8 => x^2 + x + 2 - 2x - 8 = 0 => solve = x₁ = 3, x₂ = -2

V = π S (2x + 8)^2 - (x^2 + x + 2)^2 dx

V = π S (2x^2 + 32x + 64) - (x^4 - 2x^3 + 5x^2 + 4x + 4) dx

V = π S -x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 28x + 60 dx

V = π / -x^5/5 - x^4/2 - x^3 + 14x^2 + 60

((-3)^5/5 - -(-2)^5/5) - (3^4/2 - (-2)^4/2) - (3^3 - (-2)^3) + (14*3^2 - 14*(-2)^2) + 60

(-48.6 - 6.4) - (40.5 - 8) - (27 - -8) + (126 - 56) + 60

-55 - 32.5 - 35 + 70 + 60 = 7.5 //

Hacer lo mismo con:

V = π S (x^2 + x + 2)^2 - (2x + 8)^2 dx (final = 794.4 //)

794.4 + 7.5 = 801.9π u³

Funciones Inversas y Trigonometría

I = inversa, L = log, A = álgebra, T = trigonométrica

E = exponencial

√(a^2 - x^2) x = a sen(θ) √(a^2 + x^2) x = a tg(θ)

√(x^2 - a^2) x = a sec(θ)