Cálculo de Derivadas y Optimización: Ejemplos Prácticos y Aplicaciones
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Derivadas: Ejemplos y Aplicaciones
Cálculo de Derivadas
Derivadas.
f(x) = 2x + x2
f'(x) = 2x * ln(2) + 2x
g(x) = (x2 + 1) * ln(e3x + 4)
g'(x) = 2x * ln(e3x + 4) + (x2 + 1) * (3e3x / (e3x + 4))
h(x) = 1/(3x) - 5/x2 - 2
h'(x) = -1/(3x2) + 10/x3
Aplicación de Derivadas: Optimización del Consumo de Combustible
Tras un test realizado a un nuevo modelo de automóvil.
a) Cálculo del Consumo a Diferentes Velocidades
El consumo a 50 km/h es:
c(50) = 7.5 – 0.05(50) + 0.00025(50)2 = 5.625 litros
El consumo a 150 km/h es:
c(150) = 7.5 – 0.05(150) + 0.00025(150)2 = 5.625 litros
b) Análisis del Crecimiento y Decrecimiento del Consumo
Vemos que la gráfica de la función c(x) es una parábola con las ramas hacia arriba, por tanto, decrece por la izquierda, hasta la abscisa del vértice (que es un mínimo) y crece a la derecha de la abscisa del vértice. La abscisa del vértice se obtiene resolviendo la ecuación c'(x) = 0.
c(x) = 7.5 – 0.05x + 0.00025x2
c'(x) = – 0.05 + 0.0005x = 0, de donde x = 0.05 / 0.0005 = 100.
La función c(x) decrece en el intervalo 25 ≤ x ≤ 100.
La función c(x) crece en el intervalo 100 ≤ x ≤ 175.
c) Determinación de Máximos y Mínimos Absolutos
Sabemos que los máximos y mínimos absolutos de una función se alcanzan en los extremos del intervalo, 25, 175; y en los puntos que anulan la primera derivada, el 100. Evaluamos con 25, 100 y 175 en c(x). El valor mayor será el máximo absoluto, y el valor menor será el mínimo absoluto.
c(25) = 7.5 – 0.05(25) + 0.00025(25)2 = 6.40625 litros
c(100) = 7.5 – 0.05(100) + 0.00025(100)2 = 5.625 litros
c(175) = 7.5 – 0.05(175) + 0.00025(175)2 = 6.40625 litros
El valor máximo es de 6.40625 litros y se alcanza en las velocidades de 25 km/h y 175 km/h.
El valor mínimo es de 5.625 litros y se alcanza en la velocidad de 100 km/h.
Análisis de Continuidad y Derivabilidad de una Función
Se considera la función dada por:
f(x) = -2/(x+2) si x ≤ 0
f(x) = 2/(x-2) si x > 0
a) Estudio de la Continuidad y Derivabilidad
f(x) = -2/(x+2) es continua en R – {-2}, por tanto, tampoco es derivable en x = -2. Como está definida en x ≤ 0, tendremos que estudiar después su continuidad y derivabilidad en x = 0.
f(x) = 2/(x-2) es continua en R – {2}, por tanto, tampoco es derivable en x = 2. Como está definida en x > 0, tendremos que estudiar después su continuidad y derivabilidad en x = 0.
lim (x → 0-) -2/(x+2) = -1
lim (x → 0+) 2/(x-2) = -1
f(0) = lim (x → 0) f(x) = -1. Continua en x=0.
Calculamos la función derivada:
f'(x) = 2/(x+2)2 si x < 0
f'(x) = -2/(x-2)2 si x > 0
f'(0-) = 1/2
f'(0+) = -1/2; no es igual. No derivable en x = 0.
Luego la función f(x) es continua en R - { -2, 2} y derivable en R - {0, -2, 2}.
b) Determinación de Asíntotas
La recta x = -2 es una asíntota vertical, ya que:
lim (x → -2) -2/(x+2) = ∞.
La recta x = 2 es una asíntota vertical, ya que:
lim (x → 2) 2/(x-2) = ∞.
La recta y = 0 es una asíntota horizontal, ya que:
lim (x → -∞) -2/(x+2) = lim (x → ∞) 2/(x-2) = 0.