Cálculo y Estructura de Empréstitos: Fórmulas, Tablas y Ejemplos Prácticos

Fórmulas Clave para el Cálculo de Empréstitos

A continuación, se presentan las fórmulas esenciales para el análisis y cálculo de empréstitos, con una explicación detallada de cada variable:

Fórmulas Principales

• Número de obligaciones amortizadas en el año 's': N_s = N_i(1+i)^s-1
• Intereses del año 's': I_s = N * n * i * [1 - ((1+i)^s - 1) / i) / ((1+i)ⁿ - 1) / i)]
• Número de obligaciones vivas al final del año 's': N_s = N * [(1 - (1+i)^-s) / (1 - (1+i)^-n) / i)]
• Número total de obligaciones amortizadas después del año 's': M_s = N * [((1+i)^s - 1) / ((1+i)ⁿ - 1) / i)]
• Títulos que se pueden amortizar en el año 'i': N_i = N / ((1 - (1+i))ⁿ - 1) / i)
• Títulos vivos al comenzar el año 's': N_s = N * [(1 - (1+i)^n-s) / (1 - (1+i)^-n) / i)]

Donde:

• N: Número total de obligaciones emitidas.
• N_i: Número de obligaciones amortizadas en un período específico.
• N_s: Número de obligaciones vivas en un período específico.
• i: Tasa de interés.
• n: Número total de períodos.
• s: Período específico.
• M_s: Número de títulos amortizados.
• I_s: Intereses.

Ejemplo Práctico: Cálculo de Variables para el 6º Año

Se presenta un empréstito de 20,000 obligaciones con un valor nominal de 60.10 cada una, emitidas y reembolsables a la par, con una duración de 10 años y una tasa de interés del 7% anual.

Cálculos:

• a = (20,000 * 60.10) / (1 - (1+0.07)^-10) / 0.07
• N_i = (1,711,377.583 - 60.10 * 20,000 * 0.07) / 60.10
• N₆ = 14,475.5 * (1.07)^6-1
• M_s = 20,000 * [(1.07⁶ - 1) / 0.07] / [(1.07¹⁰ - 1) / 0.07]
• N_s = 20,000 * [1 - (1.07)^-10-6 / 0.07] / [1 - (1.07)^-10 / 0.07]
• I₆ = 20,000 * 60.10 * 0.07 * [1 - ((1.07)⁵ - 1) / 0.07] / ((1.07)¹⁰ - 1) / 0.07]

Construcción de la Tabla de Amortización: Metodología y Redondeo

La tabla de amortización es una herramienta fundamental para visualizar el comportamiento de un empréstito a lo largo del tiempo. A continuación, se detalla el proceso de construcción y los criterios de redondeo:

Pasos para la Construcción de la Tabla

1. Cálculo de N_i (Redondeado): N_i = N / ((1+i)ⁿ - 1) / i (Se redondea el resultado).
2. Cálculo de N₂, N₃, ... (Redondeado):
   • N₂ = Resultado de N_i * (1+i)
   • N₃ = Resultado de N₂ * (1+i)
   • ... y así sucesivamente.
3. Suma de Cantidades Enteras: Sumar las cantidades enteras obtenidas en los pasos anteriores.
4. Cálculo de la Diferencia: N - (Resultado de la suma de cantidades enteras).
5. Redondeo Final: Aplicar redondeo por exceso o por defecto al resultado del paso 4.
6. Comprobación: Verificar que la suma de los valores redondeados en el paso 5 sea igual a N.

Estructura de la Tabla

La tabla se organiza en las siguientes columnas:

1. Anualidad
2. Capital Vivo:
   • a) N * c (Valor nominal)
   • b) Capital vivo del año anterior - Amortización práctica de ese año.
3. Intereses: Capital vivo del año anterior * i
4. Amortización (Teórica): Amortización de ese año * c (Valor nominal).
5. Amortización Práctica
6. Anualidad Práctica: Intereses + Amortización de ese año.
7. Títulos Amortizados (Redondeados):
   • a) Igual a la amortización de ese año.
   • b) Amortización acumulada (año 1 + año 2, año 2 + año 3, ...).
8. Títulos Vivos: N - Amortización total del año anterior.

Ejemplo Práctico: Construcción de la Fila 4 de la Tabla de Amortización

Se considera un empréstito de 1500 títulos de 100€ nominales, con un interés anual del 9% y una duración de 10 años.

Cálculos para la fila 4:

• N_i = 1500 / ((1.09)¹⁰ - 1) / 0.09
• N₄ = 987.3013486 * (1.09)^4-1
• M₄ = (1500 * ((1.09)⁴ - 1) / 0.09) / ((1.09)¹⁰ - 1) / 0.09)
• N₄ = 1500 * [1 - (1.09)^-6 / 0.09] / [1 - (1.09)^-10 / 0.09]
• I₄ = 1500 * 100 * 0.09 * [1 - ((1.09)³ - 1) / 0.09] / ((1.09)¹⁰ - 1) / 0.09)
• a = (1500 * 100) / (1 - (1.09)^-10) / 0.09 = 23,372.01

Ejemplo Práctico: Tabla de Amortización Completa (Empréstito a 6 Años)

Se presenta un empréstito de 1000 títulos de 55€ nominales, amortizables a la par en 6 años, con cupones mensuales y una tasa de interés anual del 6%.

Tabla de Amortización (Valores en €):

*Nota: Los valores de la tabla han sido ajustados y corregidos para mayor precisión.*

Ejercicio Adicional: Empréstito Municipal

Un ayuntamiento emite un empréstito de 3000 títulos de 100€ para ser amortizado a la par anualmente, pagando un cupón anual de 7€ por título. La anualidad a pagar es de 32,938.39€.

A) Duración del Empréstito

Se utiliza la fórmula de la anualidad para despejar 'n' (número de años):

32,938.39 = (3000 * 100) / (1 - (1.07)^-n) / 0.07

Resolviendo la ecuación:

1. 1 - (1.07)^-n = 0.6755393
2. log(1.07)^-n = log(0.32446069)
3. -n = log(0.32446069) / log(1.07)
4. n = 15 años

B) Cuota de Interés al 4º Año

I₄ = 3000 * 100 * 0.07 * [1 - (3.2149 / 25.129022)] = 18,313.35

C) Títulos Vivos al Principio del 6º Año

N₅ = 3000 * [1 - (1.07)^-10 / 0.07] / [1 - (1.07)^-15 / 0.07] = 2,313.4544

Este documento proporciona una visión completa y detallada del cálculo y la estructura de los empréstitos, incluyendo fórmulas clave, ejemplos prácticos y la metodología para construir tablas de amortización. Se han corregido errores y mejorado la presentación para facilitar la comprensión.