Cálculo y estudio de funciones: Monotonía, concavidad y derivabilidad

Cálculo de la derivada y análisis de monotonía

La gráfica de la primera derivada se representa como:

0=b                          a=-1/2
y´=-1/2x²+2

Monotonía

Concavidad y puntos de inflexión

Análisis de funciones a trozos

g(x)= |x+1| si x<-1

        -2x+2 si x>2

|x+1| =

• x+1 si x+1 ≥ 0 => x ≥ -1
• -x-1 si x+1 < 0 => x < -1

g(x)=

• -x-1 si x<-1
• x+1 si -1≤x<2
• -2x+2 si x>2

x=-1

Estudio de la función B(t)

B(t)= -t²+2t si 0<t<5

        10 si 5≤t<8

B(t)=1

B´(t)= -2t+2 si 0<t<5

        0 si 5≤t<8

-2t+2=0

-2t=-2

t=-2/-2

t=1

La función es ascendente de (0,1)

La función es descendente de (1,5)

Hay un máximo en (1,1)

b) t=1

Cálculo de parámetros para la derivabilidad

Calcula el valor del parámetro "a" y "b" para que la función sea derivable

g(x)= ax²+bx-3 si x<1

        2bx-4 si x≥1

Continuidad

lim_x→1^- ax²+bx-3=a(1)²+b(1)-3=a+b-3

lim_x→1⁺ 2bx-4=2b(1)-4=2b-4

a+b-3=2b-4

a+b-2b=-4+3

a-b=-1

Derivabilidad

f´(1)^-=2ax+b=2a(1)+b=2a+b

f´(1)⁺=2b

2a+b=2b

2a+b-2b=0

2a-b=0

a-b=-1

2a-b=0

a-b=-1           a-b=-1                   1-b=-1

2a-b=0          -2a+b=0                 -b=-1-1

                   -a=-1 a=1            -b=-2   b=2