Cálculo: Tasas de Variación y Derivadas de una Función

Cálculo de Variaciones y Derivadas

Tasa de Variación

Tasa de variación de una función en un intervalo [a,b]: Diferencia entre los valores de las imágenes de los puntos extremos del intervalo. Indica el cambio experimentado por una función en dicho intervalo.

TV [a,b]= f(b) – f(a)

• Si TV [a,b] > 0, la función crece.
• Si TV [a,b] < 0, la función decrece.
• Si TV [a,b] = 0, la función es constante.

Tasa de variación media de una función en un intervalo [a,b]: Es el cociente entre la variación de la variable dependiente y la variación de la variable independiente. Indica cómo y cuánto crece una función.

TVM [a,b] = (f(b) – f(a)) / (b-a)

Otra notación de la tasa de variación media de una función en [x₀, x₀+h] es:

TVM [x₀, x₀ + h] = (f(x₀+h) - f(x₀)) / h

Tasa de Variación Instantánea (TVI)

Se define la TVI de una función en x = x₀ como el límite cuando h tiende a 0 del cociente entre la variación de las imágenes, de x₀+h y x₀, y h.

TVI [x₀] = lim_h→0 (f(x₀+h) – f(x₀)) / h

La TVI de una función en el punto x = x₀ es la derivada de la función.

f'(x₀) = lim_h→0 (f(x₀+h) - f(x₀)) / h

Si la derivada de una función en un punto existe, decimos que la función es derivable en ese punto.

Función derivada de una función: Aplicación que asocia a cada valor de x, donde la función es derivable, el valor de la derivada en ese punto.

f'(x) = lim_h→0 (f(x+h) – f(x)) / h

Derivabilidad de una Función

La idea intuitiva de derivabilidad es que la función sea suave, es decir, que no haya picos o cambios bruscos. No todas las funciones continuas son derivables.

Una función es derivable en x = a si es continua en x = a y existen y son iguales los límites que tienden a ese número por la derecha y la izquierda. En ese caso diremos que existe f'(a) = lim_x→a^- f'(x) = lim_x→a⁺ f'(x).

Para estudiar la derivabilidad de una función:

1. Continuidad de cada trozo y/o puntos críticos.
2. Derivabilidad, sólo donde es continua, en cada trozo y/o puntos críticos.

La Recta Tangente a una Función en un Punto

Para calcular la pendiente de la recta tangente debo aproximar el punto (b, f(b)) al punto (a, f(a)) tanto como sea posible.

Ecuación: lim_h→0 (f(a+h) – f(a)) / h = f'(x)

Es decir, la recta tangente a una función en el punto x = a tiene las siguientes características: pasa por (a, f(a)) y su pendiente es f'(a).

La ecuación general de una recta es: y = mx + n

La ecuación de la recta tangente a una función en el punto x = a es: y – f(a) = f'(a) * (x - a)