Combinatoria y Probabilidad Condicionada: Conceptos y Fórmulas

Combinatoria

Variaciones

Dado un conjunto A con m elementos, A = {a₁, a₂,…, a_m}, se llama variación sin repetición de orden n, a todo agrupamiento de A con n elementos.

Diremos que dos variaciones sin repetición son diferentes cuando tengan algún elemento diferente o cuando, teniendo los mismos elementos, el orden de colocación sea distinto. Denotaremos por V_m,n al número total de variaciones sin repetición de orden n formadas a partir de m objetos dados y viene dado por:

[Fórmula de variaciones sin repetición]

Llamaremos variaciones con repetición de orden n a todas las agrupaciones de n elementos que pueden hacerse con los m elementos de A. Dos variaciones con repetición se considerarán distintas cuando tengan algún elemento diferente o bien cuando, teniendo los mismos, el orden de colocación en ambas no coincide. En cada colección pueden aparecer elementos repetidos. Denotaremos por VR_m,n al número total de variaciones sin repetición formadas a partir de m objetos dados y viene dado por:

[Fórmula de variaciones con repetición]

Permutaciones

Dado un conjunto A con n elementos distintos, A = {a₁, a₂,…, a_n}, llamaremos permutaciones sin repetición de orden n, a todas las colecciones posibles, formando parte los n elementos de A, diferenciándose dos de estas colecciones únicamente en el orden de los elementos dentro de las colecciones. Denotaremos por P_n al número total de permutaciones sin repetición de n elementos y viene dado por P_n = n!.

Llamaremos permutaciones con repetición de n elementos, entre los cuales existen n₁ iguales entre sí, n₂ iguales entre sí y distintos de los anteriores y así sucesivamente hasta un número final n_k de ellos iguales entre sí, de forma que n₁ + n₂ + .. + n_k = n, a las colecciones distintas obtenidas con los n objetos. El número de colecciones diferentes de este tipo es:

[Fórmula de permutaciones con repetición]

Combinaciones

Dado un conjunto A con m elementos distintos, A = {a₁, a₂,…, a_m}, y n un número natural tal que n ≤ m, llamaremos combinaciones sin repetición de orden n, a todas las colecciones posibles de n objetos de entre los elementos de A y diremos que dos de esas colecciones son distintas como combinaciones si tienen algún elemento diferente. En cada colección no puede aparecer ningún elemento repetido. Podemos decir también que cada combinación sin repetición de orden n es un subconjunto de A con n elementos. Denotaremos por C_m,n al número total de combinaciones sin repetición de orden n formadas a partir de m objetos dados y viene dado por:

[Fórmula de combinaciones sin repetición]

Llamaremos combinaciones con repetición de n elementos, a todas las colecciones posibles de n objetos de entre los elementos de A y diremos que dos de esas colecciones son distintas como combinaciones si tienen algún elemento diferente. En cada colección pueden aparecer elementos repetidos. El número total de combinaciones con repetición de orden n formadas a partir de m objetos dados y viene dado por:

[Fórmula de combinaciones con repetición]

Probabilidad Condicionada

La idea de probabilidad condicionada permite incorporar información relevante para hallar la probabilidad de un suceso. Supongamos que en una población de mujeres y hombres se elige al azar una persona y se le pregunta si consume cierto producto dietético. La probabilidad de que la respuesta sea afirmativa cambia si se sabe, por ejemplo, que la persona seleccionada es mujer.

A veces, tenemos una información parcial, sabemos que ha ocurrido un cierto suceso A, y, con esa información evaluamos la probabilidad de que ocurra otro suceso B (Probabilidad Condicionada); esta información puede hacer variar la probabilidad de ocurrencia de B. Para hallar en general la probabilidad de un suceso A condicionado por otro suceso B (que tenga probabilidad mayor que cero), basta dividir la probabilidad de A ∩ B por la probabilidad de B:

[Fórmula de probabilidad condicionada]