Conceptos Clave y Fórmulas Esenciales de Matemáticas: Optimización, Derivadas y Límites

Conceptos Clave y Fórmulas Esenciales de Matemáticas

Optimización de Funciones

Para optimizar una función, sigue estos pasos:

1. Identifica la condición y despeja una variable.
2. Define la función objetivo (lo que se busca maximizar o minimizar).
3. Sustituye la variable despejada en la función objetivo.
4. Deriva la función resultante.
5. Iguala la derivada a cero y resuelve para encontrar los puntos críticos.
6. Sustituye los puntos críticos en la función original para encontrar los valores óptimos.

Fórmulas Trigonométricas y Geométricas

• Longitud de la circunferencia: 2πr (donde 'r' es el radio).
• Área del círculo: πr².
• Tangente (tg): cateto opuesto / cateto contiguo.
• Seno (sen): cateto opuesto / hipotenusa.
• Coseno (cos): cateto contiguo / hipotenusa.
• Teorema de Pitágoras: h² = cateto opuesto² + cateto contiguo².

Análisis de Funciones: Continuidad y Discontinuidades

Si se pide hallar parámetros en una función 'x' con mínimos, se busca la abscisa del punto de inflexión en la segunda derivada y se evalúa en la primera.

Tipos de discontinuidades:

• Inevitable: Los límites laterales son diferentes. Puede ser:
  • De salto finito: Los límites laterales existen pero son distintos.
  • De salto infinito: Al menos uno de los límites laterales es infinito.
• Evitable: Los límites laterales son iguales, pero no coinciden con el valor de la función en el punto, o la función no está definida en ese punto.

¡Importante!: Siempre determina el dominio de la función y representa los puntos críticos en la recta real. Para hallar el dominio:

• Polinomios: No tienen discontinuidad.
• Racionales: Resuelve la ecuación del denominador igualado a cero. Los valores que anulan el denominador son puntos de discontinuidad.
• Irracionales:
  • Índice impar: Continua en todo su dominio.
  • Índice par: Continua donde el radicando es mayor o igual a cero.

Equivalencias:

• π = 180°
• π/2 = 90°

Si hay parámetros para asegurar la continuidad, calcula los límites laterales en los puntos de cambio de definición de la función e iguálalos. Si es necesario, resuelve el sistema de ecuaciones resultante.

Derivabilidad

Para estudiar la derivabilidad, calcula la derivada de cada tramo de la función y los límites laterales de las derivadas en los puntos de cambio de definición. Si los límites laterales coinciden, la función es derivable en ese punto. Si no coinciden, la función no es derivable. Se expresa: "f(x) no es derivable en x = ... ni en x = ...".

Monotonía y Extremos Relativos

Monotonía (Crecimiento y Decrecimiento):

1. Calcula la primera derivada de la función.
2. Iguala la derivada a cero y resuelve la ecuación.
3. Representa los puntos críticos en la recta real.
4. Evalúa la primera derivada en puntos intermedios entre los puntos críticos.
5. Si f'(x) > 0, la función es creciente. Si f'(x) < 0, la función es decreciente.

Extremos Relativos (Máximos y Mínimos):

1. Los puntos críticos de la primera derivada son los posibles extremos relativos.
2. Calcula la segunda derivada.
3. Evalúa la segunda derivada en los puntos críticos:
   • Si f''(x) < 0, hay un máximo relativo en ese punto.
   • Si f''(x) > 0, hay un mínimo relativo en ese punto.

Puntos de Inflexión y Curvatura

Puntos de Inflexión:

1. Iguala la segunda derivada a cero y resuelve. Las soluciones son los posibles puntos de inflexión.
2. Calcula la tercera derivada.
3. Si la tercera derivada evaluada en un posible punto de inflexión es distinta de cero, entonces es un punto de inflexión.

Curvatura:

1. Representa los puntos de inflexión en la recta real.
2. Evalúa la segunda derivada en puntos intermedios.
3. Si f''(x) > 0, la función es convexa (cóncava hacia arriba).
4. Si f''(x) < 0, la función es cóncava (cóncava hacia abajo).

Derivada por Definición

f'(a) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)] / h

Nota: En el numerador, sustituye cada 'x' de la función original por 'x+h' para obtener f(x+h), y resta la función original f(x).

Recta Tangente

La ecuación de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto x = a es:

y - f(a) = f'(a) (x - a)

Cálculo de Límites

• Si k > 1, entonces k^∞ = ∞.
• Si -1 < k < 1, entonces k^∞ = 0.

Regla de L'Hôpital: Se aplica en indeterminaciones del tipo 0/0 e ∞/∞. Se deriva el numerador y el denominador por separado.

Tipos de Indeterminaciones y Resolución:

• ∞/∞ (Polinomios): Considera los términos de mayor grado del numerador y denominador. Simplifica y calcula el límite.
• ∞/∞ (Radicales): Considera los términos de mayor grado dentro y fuera de las raíces (teniendo en cuenta el índice de la raíz). Divide numerador y denominador por la variable de mayor grado.
• 0/0 (Polinomios): Factoriza (por ejemplo, usando la regla de Ruffini) y simplifica.
• 0/0 (Radicales): Multiplica y divide por el conjugado de la expresión con el radical.
• ∞ - ∞ (Polinomios): Realiza la resta de fracciones algebraicas (mínimo común múltiplo).
• ∞ - ∞ (Radicales): Multiplica y divide por el conjugado de la expresión con el radical.
• k/0: Los límites laterales serán ±∞. Determina el signo estudiando el signo de la función a ambos lados del punto.
• 1^∞:
  1. Suma y resta 1 a la base: [1 + (f(x) - 1)]^g(x)
  2. Aplica la siguiente transformación: e^{lim g(x) * (f(x) - 1)}