Conceptos Clave de Funciones: Dominio, Continuidad, Teoremas y Derivadas

Dominio

El dominio es el conjunto formado por todos los valores de la variable independiente para los cuales existe la función.

Continuidad

Una función es continua cuando en su representación gráfica no presenta ningún salto.

Teorema del Signo

Si una función real f es continua en el punto x = a y f(a) ≠ 0, entonces existe un entorno centrado en a en el que los valores que toma f tienen el mismo signo que f(a).

Teorema de Bolzano

Si f(x) es continua en el intervalo [a, b] y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo, es decir, f(a) * f(b) < 0, entonces existe al menos un punto c en (a, b) tal que f(c) = 0. Interpretación geométrica: la función corta al eje x en algún punto.

Teorema de los Valores Intermedios

Sea f una función real en el intervalo [a, b]: si f(a) ≠ f(b) y k es un valor comprendido entre f(a) y f(b), entonces existe al menos un punto c en (a, b) tal que f(c) = k.

Cotas de una Función

Se dice que f está acotada superiormente en R si se puede encontrar un número real M mayor que todos los valores que toma la función en R. El supremo es la menor de las cotas superiores y el ínfimo es la mayor de las cotas inferiores.

Teorema de Weierstrass

Si una función es continua en el intervalo [a, b], está acotada en el intervalo [a, b]. Como consecuencia de este resultado, si una función es continua en su intervalo cerrado, entonces tiene máximos y mínimos absolutos en ese conjunto.

Derivada

Se le llama derivada de una función f(x) en un punto x = a al límite f'(a) = lim_(h->0) [f(a + h) - f(a)] / h. Si el límite existe se dice que la función es derivable en el punto x = a. Interpretación geométrica: la derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto.

Derivabilidad en un Punto

Una función es derivable en un punto si existen las derivadas laterales y estas son iguales. f'(a⁺) = f'(a^-)

Teorema de Rolle

Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b) y además se cumple que f(a) = f(b), entonces existe al menos un punto c del intervalo abierto (a, b) con f'(c) = 0. Interpretación geométrica: la función en ese punto c tiene tangente horizontal, es decir, alcanza un máximo o un mínimo.

Teorema del Valor Medio

Si f es continua en el intervalo [a, b] y derivable en el intervalo (a, b), entonces existe un valor c en el intervalo (a, b) tal que f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a). Interpretación geométrica: existe un punto en el que la recta tangente es paralela a la cuerda que une f(a) y f(b).

Regla de L'Hôpital

Sean dos funciones f y g tales que lim_(x->a) f(x) = 0 y lim_(x->a) g(x) = 0. Si existe el lim_(x->a) f'(x) / g'(x) entonces se cumple que lim_(x->a) f(x) / g(x) = lim_(x->a) f'(x) / g'(x).