Conceptos Clave de Probabilidad, Potenciación, Ecuaciones, Racionalización y Funciones

Probabilidad

• Probabilidad = Casos favorables / Casos posibles
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) si A y B son incompatibles
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) si A y B son compatibles
• P(B/A) = P(A ∩ B) / P(A)
• P(A ∩ B) = P(A) * P(B) si A y B son independientes
• P(A ∩ B) = P(A) * P(B/A) = P(A) * [P(A ∩ B) / P(A)] si A y B son dependientes
• P(A - B) = P(A ∩ B) = P(A) - P(A ∩ B)
• P(A ∪ B) = P(A ∩ B) = 1 - P(A ∩ B)
• P(A) = 1 - P(A)

Potenciación

• En la multiplicación de potencias de la misma base, se suman los exponentes: a^m * aⁿ = a^m+n
• En la división de potencias de la misma base, se restan los exponentes: a^m / aⁿ = a^m-n
• Potencia de una potencia: (a^m)ⁿ = a^m*n
• (a * b)ⁿ = aⁿ * bⁿ
• Propiedad distributiva: aⁿ * (b ± c) = (aⁿ * b) ± (aⁿ * c)
• Identidades notables:
  • (a + b)² = a² + b² + 2 * a * b
  • (a - b)² = a² + b² - 2 * a * b
  • (a + b) * (a - b) = a² - b²

Ecuaciones

• Ecuaciones fraccionarias: Se busca el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores. Si hay un signo negativo delante de una fracción, cambia el signo de toda la ecuación. Si el denominador es (x+1)(x-1), no se puede factorizar y se queda igual.
• Ecuaciones de segundo grado: Se utiliza la fórmula general. Si falta el término 'b', se despeja 'x'. Si falta el término 'c', se saca factor común.
• Ecuaciones de tercer grado o más: Se utiliza la regla de Ruffini.

Racionalización

• Eliminar la raíz del denominador.
• Si hay solo una raíz cuadrada en el denominador, se multiplica el numerador y el denominador por la misma raíz.
• Si la raíz está sumando o restando en el denominador, se multiplica por el conjugado.
• Un signo negativo en el denominador se elimina cambiando el signo del numerador.

Funciones

• Dominio (D): Se representa en el eje X.
• Imagen (I): Se representa en el eje Y.
• Crecimiento: Se analiza en el eje X (truco del muñeco).
• Extremos: Máximos y mínimos relativos y absolutos.
• Concavidad: Cóncava hacia abajo (triste) y cóncava hacia arriba (alegre).
• Puntos de inflexión: Donde cambia la concavidad.
• Simetría: Puede ser par, impar o no tener simetría.
• Periodicidad: Si la función se repite.
• Asíntotas: Verticales (X = a) y horizontales (Y = b), son líneas a las que la función se acerca sin tocarlas.
• Continuidad: Se analiza en el eje X (muñeco andando). Si hay discontinuidad, se mira el valor en el eje Y. Ejemplo: f(3) en "x" = 1 en "y", lim f(x) = 1 cuando x tiende a 3+ (viene de la derecha), lim f(x) cuando x es 3- = 4 (viene de la izquierda). No sería continua en x = 3.
• Tipos de discontinuidad:
  • De salto finito: Cuando los límites laterales no son iguales, como en el ejemplo anterior.
  • De salto infinito: Cuando el límite es infinito.
• Límites:
  • El límite cuando x tiende a infinito de un polinomio es +∞.
  • Si el exponente del numerador es mayor que el del denominador, el límite es +∞.
  • Si el exponente del numerador es menor que el del denominador, el límite es 0.
  • Si los exponentes son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado del numerador y del denominador.
  • (+∞) + (+∞) = +∞
  • (-∞) + (-∞) = -∞
  • (∞) - (∞) = Indeterminación
  Ejemplo: √(4x² + 2x) - √(4x² - 3). Si el límite tiende a +∞, se miran los exponentes y, como son iguales, sería una resta de infinitos, por lo que es una indeterminación. Se resuelve multiplicando y dividiendo por el conjugado: [√(4x² + 2x) - √(4x² - 3)] * [√(4x² + 2x) + √(4x² - 3)] / [√(4x² + 2x) + √(4x² - 3)]. Se eliminan las 'x' y las raíces con los cuadrados en el numerador y el denominador, y se calcula el límite de la expresión resultante. En este caso, el resultado sería +∞ / +∞.