Conceptos Fundamentales de Geometría Analítica y Cálculo

Conceptos Fundamentales de Geometría Analítica

Definiciones de Lugares Geométricos

Recta: Se define como el lugar geométrico de los puntos tales que, tomando dos puntos cualesquiera, el valor de su pendiente es constante.

Circunferencia: Lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia desde un punto fijo llamado centro es siempre una constante.

Parábola: Lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia a una recta fija del plano es igual a la distancia a un punto fijo que no pertenece a la recta.

Elipse: Lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su distancia a dos puntos fijos es siempre una constante.

Hipérbola: Lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano llamados focos es siempre igual a una constante; debe ser positiva y menor que la distancia entre los focos.

Conceptos Básicos de Cálculo

Entorno

Definición: Se le llama entorno o vecindad de un punto “a” en R, al intervalo abierto (a - δ, a + δ) = {a | a - δ < a < a + δ}, donde δ es la semiamplitud o radio del intervalo.

Visualización:

← δ →

a - δ     a     a + δ

←     2δ     →

Al entorno del punto a y radio δ se le suele representar como:

| x - a | < δ

Definición: Se llama entorno reducido aquel en el que se excluye el punto central a.

Se representa como:

Q’ (a, δ) = {x|a - δ < x < a + δ, x ≠ a}

Puntos de Acumulación

Si S es un subconjunto de un espacio topológico X, un punto es un punto de acumulación de S si cualquier conjunto abierto que contenga a x contiene otro punto distinto de x. Es decir, cualquier vecindad de x contiene un punto de S distinto a x.

Límite de una Función

Definición: Dadas una función f, y los números “a” y “L”, se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a “a” es “L”, si para todo número positivo ε, tan pequeño como se desee, existe un número positivo δ tal que:

|f(x) - L| < ε si 0 < |x - a| < δ

Los valores de la función f(x) se aproximan a un límite L, a medida que x se aproxima a un número “a”, si el valor absoluto de la diferencia entre f(x) y L, se puede hacer tan pequeña como se quiera tomando x suficientemente cerca de “a”.

Esto, escrito en notación formal: