Conceptos Fundamentales de Matemáticas: Álgebra, Trigonometría y Vectores

Conceptos Fundamentales de Matemáticas

Álgebra

El valor absoluto de un número real *a*, se escribe |*a*|, es el mismo número *a* cuando es positivo o cero, y opuesto de *a*, si es negativo.

Se llama logaritmo de base *a* de un número *N*, al número real *x* al que hay que elevar la base para que nos dé el número *N*.

Propiedades de los logaritmos:

• P≠Q → log_a P≠ log_a Q
• log_a a=1
• log_a 1=0
• log_a(P·Q)=log_a P+log_a Q
• log_a(P:Q)=log_a P-log_a Q
• log_a Pⁿ=n· log_a P
• log_a ⁿ√P= log_a P^1/n= 1/n log_a P

Teorema del resto: El resto de la división de un polinomio P(*x*) entre un polinomio de la forma (*x*-*a*) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: *x*=*a*.

Trigonometría

Teorema del seno: En un triángulo cualquiera se verifica que los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos (fórmula).

Implicación general - La razón entre un lado y el seno del ángulo opuesto es igual a dos veces el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo (fórmula y dibujo).

Teorema del coseno: En un triángulo cualquiera se verifica que un lado al cuadrado (²) es igual a la suma de los cuadrados (²) de los otros dos, menos el doble producto de estos por el coseno del ángulo que forman.

Radián: Ángulo cuyo arco es igual a la longitud del radio con el que se ha trazado.

Vectores

Vector: Se llama base de V₂ (conjunto de vectores libres del plano) a dos vectores que tengan distinta dirección. / Se llaman coordenadas del vector u con respecto a la base B{x,y} de V₂ a los escalares que permiten escribir dicho vector como combinación lineal de los vectores de la base. Por lo tanto, si u=αx+βy, α y β serán las coordenadas del vector u respecto a la base B. / Ortogonal x ⊥ y / Ortonormal x ⊥ y, y |x|=|y|=1 (flecha encima).

Se llama producto escalar de u y v, y se escribe u·v, al número que se obtiene al multiplicar el módulo de u, por el módulo de v, por el coseno del ángulo que forman (fórmula).

Consecuencias:

1. u·u=|u|·|u|·cos(u,u)=|u|²=√u·u
2. u·v=|u|·|v|·cos(u,v) => cos(u,v)=u·v/|u|·|v|
3. Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es igual a 0. u ⊥ v <=> u·v=0, u,v≠0

Propiedades:

• Conmutativa: u·v=v·u
• Asociativa mixta, respecto a los escalares: α(u·v)=(α·u)v=u(α·v)
• Distributiva, respecto a la suma de vectores: u·(v+w)=u·v+u·w

Expresión analítica: u·v ∈ V₂ de coordenadas (u₁,u₂), (v₁,v₂) respecto a una base B{x,y}. u=u₁x+u₂y, v=v₁x+v₂y

u·v=(u₁x+u₂y)·(v₁x+v₂y). Si B es una base ortogonal: u·v=u₁·v₁·x·x+u₂·v₂·y·y. Si B es una base ortonormal: u·v=u₁·v₁+u₂·v₂

Consecuencia (base ortonormal):

1. |u|=√u·u