Conceptos Fundamentales de Matemáticas: Conjuntos, Cardinales, Fracciones y Más

Conceptos Fundamentales de Matemáticas

Conjuntos

Conjuntos: a pertenece a A, no pertenece, A=B dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, esta relación se llama equivalencia y tiene que cumplir 3 propiedades, A no igual B.

A incluido en B (C), A incluido o igual B es relación de orden si cumple 3 propiedades. A no está incluido en B si algún elemento de A no está en B. Después tenemos la unión, intersección y diferencia (todos, solo comunes, los de la izquierda).

Par ordenado: secuencia de dos elementos donde uno es el primero (a) y otro el segundo (b).

Producto cartesiano: de A y B, escrito AxB es un nuevo conjunto donde el primer elemento es de A y el segundo de B.

Correspondencia: relación binaria entre dos conjuntos.

Aplicaciones: una correspondencia en donde a todos los elementos del conjunto inicial les corresponde un elemento del conjunto final. (Inyectiva, sobreyectiva y biyectiva)

Cardinales

Cardinal de un conjunto finito: al número de elementos que contiene A(a,b,c), entonces Card (A) = 3.

Conjuntos equipotentes: cuando dos conjuntos tienen el mismo cardinal siempre que se pueda hacer una aplicación biyectiva entre ellos (Card A = Card B).

Relación de equipotencia: es una relación de equivalencia cumpliendo las tres propiedades.

Ordenación de cardinales: podemos tener una relación entre cardinales de conjuntos Card A < o igual Card B si existe una aplicación inyectiva de A a B. Esta relación de cardinales es una relación de orden y tiene que cumplir las 3 propiedades.

Otras relaciones: Card A < Card B si existe una aplicación inyectiva no sobreyectiva. Card A > o igual Card B si existe una aplicación sobreyectiva. Card A > Card B si existe una aplicación sobreyectiva no inyectiva.

Cardinales infinitos: si podemos establecer una biyección entre X (conjunto infinito) y algún subconjunto de X.

Números enteros (Z).

Números racionales: aquellos que se pueden expresar como cocientes de números enteros, siendo el divisor distinto de 0 (Q) y pueden ser enteros, decimales, periódicos puros y mixtos.

Números irracionales: aquellos que tienen infinitos decimales pero no forman periodo (II).

Número reales: unión de los racionales e irracionales (R)

Potencias

Propiedades:

• a x a y exponente distinto se suman.
• a:a se restan.
• (a exponente n) exponente m se multiplican exponentes.
• a x b mismo exponente ambos (a x b) exponente común.
• división igual.

M.C.D: por descomposición factorial y comunes al menor exponente.

Euclides: se divide el mayor por el menor y si es exacta ese es el m.c.d y si no dividimos el divisor entre el resto hasta que sea exacta y el último divisor es el m.c.d

Fracciones

Equivalentes: para obtenerlos se multiplica o divide el numerador y el denominador por un mismo número.

Simplificar: dividir el numerador y el denominador por el m.c.d de ambos.

Reducir: el denominador será el m.c.m de todos los denominadores, después dividimos el m.c.m por su denominador y multiplicamos por su numerador.

Sumar: m.c.m denominador y ya sumamos o restamos.

Multiplicar: numerador x numerador y denominador x denominador.

División: multiplicamos en cruz.

Fórmulas

Ecuación de 2º grado: x=-b+- raíz cuadrada de b al cuadrado - 4 x a x c partido 2 x a.

Fórmula de (a+b) elevado a 2 = a cuadrado + 2 x a x b + b cuadrado.