Conceptos Fundamentales de Matemáticas: Funciones, Conjuntos y Álgebra

Funciones Biyectivas

Sea f : A → B una función biyectiva. Por ser f sobreyectiva, para cada b ∈ B existe un elemento a ∈ A tal que f(a) = b. Además, por ser f inyectiva, este a es único. Esto permite definir la aplicación f^-1: B → A, f^-1(b) = a ⇔ f(a) = b. Esta aplicación f^-1 es la inversa de f.

Ejemplos de Funciones Biyectivas

Determinar si las siguientes funciones son biyectivas:

1. f : R → R, f(x) = 2x + 5

   1. Inyectividad: ∀x₁, x₂ ∈ R, f(x₁) = f(x₂) ⇒ 2x₁ + 5 = 2x₂ + 5 ⇒ x₁ = x₂. Sí es inyectiva.

   2. Sobreyectividad: ∀y ∈ R, ∃x ∈ R / f(x) = y ⇔ ∃x ∈ R / 2x + 5 = y. Sí es sobreyectiva.

   Conclusión: f es biyectiva.

2. f : R → [0, +∞), f(x) = x²

   1. Inyectividad: f(1) = f(-1) = 1. No es inyectiva.

   2. Sobreyectividad: ∀y ∈ [0, +∞), ∃x ∈ R / f(x) = y ⇔ ∃x ∈ R / x² = y ⇒ x = ±√y. Sí es sobreyectiva.

   Conclusión: f no es biyectiva.

Conjunto Cociente

Teorema: El conjunto cociente (Z_n, +, ·) es un anillo conmutativo con identidad.

1. (Z_n, +) es un grupo abeliano (+ es operación interna de Z_n, es asociativa, conmutativa, hay elemento neutro y opuesto).
2. (Z_n, ·) es un semigrupo conmutativo con identidad (· es operación interna, asociativa, conmutativa y existe elemento neutro).
3. · es distributiva respecto de +.

Álgebra de Boole

Ejercicios de Conjuntos

1. Comprueba que:
   1. (A ∪ (B ∩ C))^C = (C^C ∪ B^C) ∩ A^C

      Demostración: (A ∪ (B ∩ C))^C = A^C ∩ (B ∩ C)^C = A^C ∩ (B^C ∪ C^C) = (C^C ∪ B^C) ∩ A^C

   2. (A ∪ B ∪ C^C) ∩ (A ∪ B^C ∪ C^C) = A ∪ C^C

      Demostración: (A ∪ B ∪ C^C) ∩ (A ∪ B^C ∪ C^C) = (A ∪ C^C ∪ B) ∩ (A ∪ C^C ∪ B^C) = ((A ∪ C^C) ∪ B) ∩ ((A ∪ C^C) ∪ B^C) = (A ∪ C^C) ∪ (B ∩ B^C) = (A ∪ C^C)

2. Enumera y explica las propiedades que hacen que (P(E), ∪, ∩, C) sea un álgebra de Boole:

   Un conjunto A (con 2 o más elementos) con dos operaciones binarias (+ y ·) y otra unaria (=~) es álgebra de Boole si y solo si:

   1. + y · son conmutativas.
   2. + es distributiva respecto de · y · es distributiva respecto a +.
   3. ∃ elemento neutro para + y para · (distintos). ∀a ∈ P(E) ⇒ A ∪ ø = A ⇒ ø neutro para ∪. ∀a ∈ P(E) ⇒ A ∩ E = A ⇒ E neutro para ∩.
   4. ∀a ∈ A, ∃!b ∈ A / a = ~b ⇒ Complemento de a (∀a ∈ A, a ∪ a^c = 1; a ∩ a^c = 0).

Relaciones de Equivalencia

Demuestra que si R es una relación de equivalencia en A, entonces A/R es una partición de A.

Demostración:

• ∀a ∈ A ⇒ aRa ⇒ a ∈ [a] ⇒ todo elemento pertenece al menos a una clase (la unión de todas las clases es A).
• ∀a, b, c ∈ A, aRb ⇒ a ∈ [b] ⇒ bRc ⇒ [b] = [c] ⇒ [a] = [b] = [c] ⇒ cada elemento pertenece solo a una clase.
• aRc ⇒ a ∈ [c]
• [a] ∩ [b] = ø (son disjuntas) si ¬(aRb).

Orden en R²

Definiciones

1. Define el orden producto ≤_p y el orden archivero ≤_a en R²:

   • Orden Producto: ∀(a, b), (c, d) ∈ R², (a, b) ≤_p (c, d) ⇔ a ≤ c y b ≤ d.
   • Orden Archivero: ∀(a, b), (c, d) ∈ R², (a, b) ≤_a (c, d) ⇔ a < c ó a = c y b ≤ d.

2. Sea A := {(x, y) ∈ R² / (x + 1)² + (y + 3)² ≤ 1}, hallar gráfica y elementos notables de (A, ≤_p).

   (x + 1)² + (y + 3)² ≤ 1 ⇒ Circunferencia centrada en (-1, -3) y radio 1.

   • (m, n) extremo inferior de A ⇔ (m, n) ≤_p (x, y), ∀(x, y) ∈ A ⇒ m ≤ x y n ≤ y.
   • (m, n) extremo superior de A ⇔ (x, y) ≤_p (m, n), ∀(x, y) ∈ A ⇒ x ≤ m y y ≤ n.
   • (-2, -4) es el ínfimo, pero no mínimo.
   • (0, -2) es el supremo, pero no máximo.

Conjuntos Bien Ordenados

Define conjunto bien ordenado. Probar que (N, ≤) está bien ordenado.

Conjunto bien ordenado = Conjunto ordenado (reflexiva, antisimétrica y transitiva) y que sea de orden total (∀a, b ∈ A, aRb ó bRa) y bien fundado (∀B ⊆ A, ∃mínimo ⇔ ∃m ∈ B / ∀s ∈ B, s ≥ m).

¿Es (N, ≤) bien ordenado? ∀B ⊆ N, como los naturales son discretos se pueden ordenar los elementos. mín(N) = 1, B := {n₁, n₂, n₃, ... / n₁ ≤ n₂}. Luego n₁ = mín(B).

Relación de Congruencia

Define relación de congruencia módulo n en Z. Prueba que es de equivalencia y demuestra que el conjunto cociente Z_n = {[0], [1], [2], ..., [n-1]}.

Relación de congruencia: ∀a, b ∈ Z, n ∈ N, a ≡ b mod n ⇔ a - b es múltiplo de n (a - b = k·n, k ∈ Z). Probamos que es de equivalencia:

• Reflexiva: ∀a ∈ Z, n ∈ N, a - a = 0 = 0·n ⇒ a ≡ a mod n ⇒ Sí.
• Simétrica: ∀a, b ∈ Z, n ∈ N, a ≡ b mod n ⇒ a - b = k·n ⇒ b - a = -k·n = k'·n, k' ∈ Z ⇒ b ≡ a mod n ⇒ Sí.
• Transitiva: ∀a, b, c ∈ Z, n ∈ N, a ≡ b mod n ⇒ a - b = k·n ⇒ a - c = (k + k')·n = k''·n, k'' ∈ Z ⇒ a ≡ c mod n ⇒ Sí.
• b ≡ c mod n ⇒ b - c = k'·n

∀a ∈ Z, n ∈ N, ∃q ∈ Z, r ∈ N, 0 ≤ r < n / a = q·n + r ⇒ a - r = q·n ⇒ a ≡ r ⇒ [a] = [r] ⇒ Z_n = {[0], [1], [2], ..., [n-1]}.

Diferencia Simétrica

Define diferencia simétrica: Es el conjunto de elementos que están o bien en A o bien en B, pero no en ambos. A Δ B := {x / x ∈ A ∨_exclusiva x ∈ B} = {x / p(x) ∨_exclusiva q(x)}

A Δ B = (A ∪ B) \ (B ∪ A) = (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∩ B^C) ∪ (B ∩ A^C)

Retículos

Retículo: Un conjunto ordenado es un retículo si ∀a, b ∈ A, ∃sup{a, b} ∧ inf{a, b} y ambos pertenecen a A.

Partición de un Conjunto

Sea R una relación de equivalencia sobre un conjunto X. Para cada a ∈ X, sea [a] = {x ∈ X / xRa}, entonces S = {[a] / a ∈ X} es una partición de X.