Conceptos Fundamentales de Matemáticas: Teoremas, Funciones y Geometría

Conceptos Fundamentales de Matemáticas

Teorema del Resto y Logaritmos

• Teorema del resto: El resto de dividir un polinomio P(x) entre (x-a) es igual al valor numérico de P(x) para x=a, es decir, R=P(a).
• Logaritmo: Sean a y P números reales, con a>0 y a distinto de 1. Se llama logaritmo en base “a” de “P” al número al que hay que elevar la base “a” para obtener “P”.

Funciones y sus Propiedades

• Función: Es una aplicación entre dos conjuntos de números de tal forma que a cada elemento (x) del primer conjunto le hace corresponder un único elemento del segundo conjunto.
• Dominio: El dominio de definición de una función es el conjunto de valores de x para los que existe la función, es decir, para los que hay un valor de y.

Tipos de Funciones

• Función polinómica: y=ax² + bx + c.
  • Dominio: ℝ
  • Imagen: (y_v, ∞) si a > 0 (abierta hacia arriba); (-∞, y_v) si a < 0 (abierta hacia abajo).
  • Continua.
  • No es par ni impar.
  • Simetría respecto a la recta paralela al eje y que pasa por el vértice.
  • No tiene asíntotas.
  • Punto de corte con el eje X.
• Función de proporcionalidad inversa: y=k/x.
  • Dominio: ℝ - {0}
  • Imagen: ℝ - {0}
  • Discontinua en x=0. Salto infinito.
  • Crecimiento: Si K>0 es decreciente (en los cuadrantes 1 y 3); si K<0 es creciente (en los cuadrantes 2 y 4).
  • No tiene máximos ni mínimos.
  • Tendencias: Si x → ∞, y → 0; si x → -∞, y → 0.
  • Asíntotas: Horizontal y=0 (eje x); Vertical x=0 (eje y).
  • Simetría impar.
• Función de proporcionalidad inversa desplazada: y=(ax+b)/(cx+d). Tienen la forma de una hipérbola equilátera desplazada.
• Función exponencial: y=a^x, siendo a>0 y a distinto de 1.
  • Dominio: ℝ
  • Imagen: (0, ∞)
  • Continua.
  • Crece si a>1; decrece si 0
  • No hay máximos ni mínimos relativos ni absolutos.
• Puntos de corte: Eje X: no; Eje Y: (0,1).

• Dominio: (0, ∞)
• Imagen: ℝ
• Continua en todo su dominio.
• Crece si a>1; decrece si 0
• No tiene máximos ni mínimos.

Geometría y Semejanza

• Homotecia: Una transformación en la que interviene un centro y una constante que es la razón de semejanza.
• Criterios de semejanza:
  • Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
  • Dos triángulos son semejantes si sus lados son proporcionales.
  • Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados contiguos son proporcionales.
• Criterios de semejanza de triángulos rectángulos:
  • Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.
  • Dos triángulos rectángulos son semejantes si sus catetos son proporcionales.
• Teorema del cateto: El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de ese cateto sobre ella.
• Teorema de la altura: El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de los dos segmentos en que dicha altura divide a la hipotenusa.