Conceptos Fundamentales y Propiedades de Matrices y Determinantes

Matrices: Definición y Conceptos Básicos

Una matriz es un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas, formando un rectángulo.

Igualdad de Matrices

Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y si los términos que están en la misma posición son iguales. Es decir, las matrices A(a_ij)_{m x n} y B(b_ij)_{m x n} son iguales si a_ij = b_ij, para todos los valores de i, j.

Tipos Especiales de Matrices

• Matriz Unidad: Es una matriz cuadrada en la que los elementos de la diagonal principal son todos 1 y los otros elementos son 0.
• Matriz Simétrica: Es una matriz cuadrada que cumple que a_ij = a_ji. Ejemplo:

  
      a b
      b d
      

• Matriz Antisimétrica: Es una matriz cuadrada que cumple que a_ij = -a_ji.

Propiedades de la Suma de Matrices

• Conmutativa: A + B = B + A, tal que B y A sean de la misma dimensión.
• Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C.
• Existencia de Elemento Neutro: A + 0 = A, donde 0 es la matriz nula de la misma dimensión que A.

Propiedades del Producto de Matrices

• Asociativa: (A · B) · C = A · (B · C).
• Distributiva: A · (B + C) = AB + AC.
• No es Conmutativa: En general, A · B ≠ B · A.

Transposición de Matrices

Sea A(a_ij) una matriz de dimensión m x n, se llama matriz transpuesta de A (denotada como A^t) a la matriz donde las filas de la matriz transpuesta son las columnas de la matriz A.

Propiedades:

• (A^t)^t = A
• (A + B)^t = A^t + B^t
• (k · B)^t = k · B^t
• Si A es simétrica: A^t = A
• Si A es antisimétrica: A^t = -A

Menor Complementario y Adjunto de un Elemento

• Menor Complementario de un elemento a_ij: Sea A(a_ij) una matriz cuadrada de orden n. Se llama menor complementario del elemento a_ij al determinante de la matriz de orden n-1 que se obtiene suprimiendo en la matriz A la fila i y la columna j.
• Adjunto de un elemento a_ij: Sea A(a_ij) una matriz cuadrada de orden n. Se llama adjunto del elemento a_ij al menor complementario de a_ij multiplicado por (-1)^i+j.

Desarrollo de un Determinante por una Fila o Columna

El determinante de A es igual a: |A| = a_i1A_i1 + a_i2A_i2 + ... + a_inA_in, donde A_ij es el adjunto de a_ij. Esta igualdad es el desarrollo del determinante por la fila i.

Propiedades de los Determinantes

• |A^t| = |A|
• |A · B| = |A| · |B|
• Un determinante es 0 si una fila o columna es combinación lineal de las otras.
• Un determinante cambia de signo si se intercambian dos filas o columnas entre sí.
• Un determinante no cambia si a una fila o columna se le suma otra multiplicada por un número real cualquiera. Ejemplo:

  
      | c1 c2 c3 | = | c1 + k·c3  c2  c3 |
      

• Si un determinante tiene una fila o columna que se puede descomponer en dos sumandos, este determinante es igual a la suma de dos determinantes con las mismas filas o columnas, excepto la de los sumandos, que quedarían separados en las matrices correspondientes.