Construcciones Geométricas: Movimientos en el Plano y Puntos Notables del Triángulo

Transformaciones Geométricas y Movimientos en el Plano

Simetría Axial (Reflexión)

Definición: Es una transformación respecto a un eje (eje de simetría), donde cada punto se transforma en otro (su imagen) situado al otro lado del eje, a la misma distancia perpendicular.

Pasos para construir la figura simétrica:

1. Desde un vértice de la figura original (A), trazar una línea perpendicular al eje de simetría.
2. Con el compás, medir la distancia desde el vértice (A) hasta el eje sobre esa perpendicular.
3. Trasladar esa misma distancia sobre la perpendicular al otro lado del eje para encontrar el punto simétrico (A').
4. Repetir los pasos para todos los vértices de la figura.
5. Unir los puntos simétricos (A', B', C'...) en el mismo orden que los originales para obtener la figura simétrica.

Giro o Rotación

Definición: Es una transformación respecto a un punto (centro de giro O) y un ángulo (α), donde cada punto gira alrededor del centro O el ángulo α.

Pasos para construir la figura girada:

1. Desde un vértice de la figura original (A), trazar un segmento hasta el centro de giro (O).
2. Con origen en O y pasando por A, medir el ángulo de giro especificado (α). Trazar una semirrecta desde O con ese ángulo. (Convencionalmente, el giro antihorario es positivo y el horario es negativo).
3. Con el compás, pinchar en el centro de giro (O), abrir hasta el vértice original (A), y trazar un arco hasta cortar la semirrecta del ángulo medido. Ese punto de corte es el vértice girado (A').
4. Repetir los pasos para todos los vértices de la figura.
5. Unir los puntos girados (A', B', C'...) en el mismo orden que los originales para obtener la figura girada.

Traslación

Definición: Es un desplazamiento de la figura definido por un vector de traslación (v), que indica la dirección, sentido y módulo (distancia) del movimiento.

Pasos para construir la figura trasladada:

1. Dibujar el vector de traslación v.
2. Desde cada vértice de la figura original (A, B, C...), trazar una línea paralela al vector v, en el mismo sentido.
3. Medir la longitud (módulo) del vector v.
4. Trasladar esa distancia sobre las líneas paralelas desde cada vértice original para obtener los vértices trasladados (A', B', C'...).
5. Unir los nuevos vértices (A', B', C'...) en el mismo orden que los originales para obtener la figura trasladada, que es idéntica a la original.

Composición de Movimientos en el Plano

• Traslación: La composición de dos traslaciones es otra traslación.
• Giro: La composición de dos giros (con el mismo o distinto centro) es, en general, otro giro o una traslación.
• Simetría Axial: La composición de dos simetrías axiales:
  • Si los ejes son paralelos, el resultado es una traslación perpendicular a los ejes.
  • Si los ejes se cortan, el resultado es un giro con centro en el punto de corte de los ejes y ángulo el doble del formado por los ejes.

Atención: Orden de Aplicación

Al aplicar una composición de movimientos, como por ejemplo S_a o G_c,30° (una simetría respecto al eje 'a' compuesta con un giro de centro 'c' y ángulo 30°), se aplica primero el movimiento indicado a la derecha (el giro G_c,30°) a la figura original. Luego, a la figura resultante de ese giro, se le aplica el movimiento de la izquierda (la simetría S_a).

Cómo encontrar el Centro de Giro

Si se conocen una figura original y su figura girada:

1. Unir al menos dos pares de puntos homólogos (por ejemplo, A con A', B con B') mediante segmentos.
2. Trazar la mediatriz de cada uno de estos segmentos (ver construcción más abajo).
3. El punto donde se cortan estas mediatrices es el centro de giro (G).

Construcciones Geométricas Fundamentales y Puntos Notables del Triángulo

Construcción de la Mediatriz y el Circuncentro

La Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

Pasos para trazar la mediatriz de un segmento (AB):

1. Abrir el compás con una abertura mayor a la mitad del segmento AB.
2. Pinchar en A y trazar un arco amplio a ambos lados del segmento.
3. Pinchar en B con la misma abertura y trazar otro arco que corte al anterior en dos puntos.
4. Unir los dos puntos de intersección de los arcos. Esta recta es la mediatriz.

El punto donde se cortan las tres mediatrices de los lados de un triángulo es el Circuncentro. Es el centro de la circunferencia circunscrita (la que pasa por los tres vértices).

Construcción de la Bisectriz y el Incentro

La Bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide al ángulo en dos partes iguales.

Pasos para trazar la bisectriz de un ángulo (con vértice V):

1. Pinchar en el vértice V y trazar un arco que corte a los dos lados del ángulo en dos puntos (P y Q).
2. Desde el punto P, trazar un arco en el interior del ángulo.
3. Desde el punto Q, con la misma abertura, trazar otro arco que corte al anterior en un punto (R).
4. Unir el vértice V con el punto de cruce R. Esta semirrecta es la bisectriz.

El punto donde se cortan las tres bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo es el Incentro. Es el centro de la circunferencia inscrita (la circunferencia interior tangente a los tres lados).

Para dibujar la circunferencia inscrita: Pinchar en el Incentro y abrir el compás hasta tocar perpendicularmente uno de los lados. Trazar la circunferencia.

Construcción de la Altura y el Ortocentro

La Altura de un triángulo es el segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto (o a su prolongación).

Pasos para trazar una altura (desde el vértice C al lado AB):

1. Pinchar en el vértice C.
2. Abrir el compás con una abertura suficiente para cortar al lado opuesto AB (o a su prolongación) en dos puntos (P y Q).
3. Con centro en P y luego en Q, trazar dos arcos (con la misma abertura) que se corten en un punto (R).
4. Unir el vértice C con el punto R. El segmento de esta recta comprendido entre C y el lado AB (o su prolongación) es la altura.

Método alternativo con escuadra y cartabón:

1. Alinear uno de los catetos de la escuadra con el lado del triángulo (ej: lado AB).
2. Apoyar la hipotenusa del cartabón (o una regla) sobre el otro cateto de la escuadra.
3. Mantener fijo el cartabón y deslizar la escuadra a lo largo de él hasta que el primer cateto (el que estaba alineado con el lado AB) pase por el vértice opuesto (C).
4. Trazar la línea a lo largo de ese cateto de la escuadra desde C hasta el lado AB. Esa es la altura.

El punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo es el Ortocentro.

Nota: En un triángulo equilátero, el ortocentro coincide con el circuncentro, incentro y baricentro. Se sitúa a 1/3 de la altura desde la base y a 2/3 de la altura desde el vértice.

Construcción de la Mediana y el Baricentro

La Mediana de un triángulo es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

Pasos para trazar una mediana (desde el vértice C al lado AB):

1. Encontrar el punto medio del lado opuesto (AB). Para ello, trazar su mediatriz (como se explicó anteriormente) y marcar el punto M donde la mediatriz corta al lado AB.
2. Unir este punto medio M con el vértice opuesto (C). Este segmento CM es la mediana.

El punto donde se cortan las tres medianas de un triángulo es el Baricentro (también conocido como centroide o centro de gravedad).

Nota: El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, tal que el segmento desde el vértice al baricentro es el doble de largo que el segmento desde el baricentro al punto medio del lado (proporción 2:1).

Notas Adicionales

Conversión de Unidades (Volumen)

• Recordar la equivalencia fundamental: 1 Litro (L) = 1 decímetro cúbico (dm³)

Cálculo de Áreas y Volúmenes en Sólidos Compuestos

• Área de un sólido resultante (superficie "pintable"): Generalmente, se suman las áreas de las superficies exteriores visibles. Hay que considerar qué partes quedan ocultas o se unen y, por tanto, no forman parte del área exterior total.
• Área de un sólido perforado (ej: cilindro perforado por otro): Se calcula sumando el área lateral exterior, el área lateral interior (si la perforación es pasante) y el área de las bases (restando el área del hueco de la perforación en cada base afectada). (La interpretación exacta depende del problema específico).
• Área Total (A_T) en Sólidos Compuestos:
  • Acoplamiento (ej: prisma con cono acoplado): Se suman las áreas exteriores expuestas. El área de contacto entre las figuras se excluye del cálculo del área total exterior.
  • Perforación (ej: cilindro perforado): Se considera la superficie total expuesta, incluyendo el área lateral del interior de la perforación y el área de las bases modificadas.
• Volumen (V) en Sólidos Compuestos:
  • Acoplamiento: Se suman los volúmenes individuales de las partes (V_total = V₁ + V₂).
  • Perforación: Se resta el volumen de la forma sustraída (perforación) al volumen del sólido original (V_total = V_exterior - V_interior).

Consejo General

Al resolver problemas de geometría o dibujo técnico, es útil empezar por calcular o dibujar los datos o elementos que resulten más sencillos o directos de obtener según la información proporcionada.