Control proporcional de tiempo variable

TENIENDO EN CUENTA LA RESPUESTA REAL DE UN REGULADOR PROPORCIONAL, SE TIENEN LOS SIGUIENTES PARÁMETROS: 

BP: BANDA PROPORCIONAL. ES EL TANTO PORCIENTO QUE TIENE QUE VARIAR LA ENTRADA AL CONTROLADOR PARA QUE SE ALTERE EL 100% LA VARIABLE DE SALIDA.

K: ES EL VALOR DE SALIDA QUE PROPORCIONA EL CONTROLADOR CUANDO EL ERROR ES DEL 0%. NORMALMENTE SE LE DA UN VALOR DEL 50%.

KP: ES LA GANANCIA PROPORCIONAL, OSEA, LA RAZÓN ENTRE EL CAMBIO EN LA SALIDA (VARIABLE REGULADA) Y EL CAMBIO EN LA ENTRADA (SEÑAL DE ERROR). DETERMINA LA SENSIBILIDAD DEL CONTROLADOR.

              KP=      Y= ES LA SALIDA EN %

                             M= ES LA MEDICIÓN

                             PC= ES EL PUNTO DE CONSIGNA

LAS RELACIONES ENTRE ESTOS PARÁMETROS SON:  Y=KP . E + K”(%)       E= (M-PC)%

Y= . E + 50%

SI LA GANANCIA PROPORCIONAL ES DEMASIADO ELEVADA EL CONTROLADOR PROVOCA GRANDES CAMBIOS EN EL ELEMENTO ACTUADOR FRENTE A LIGERAS DESVIACIONES DE LA VARIABLE REGULADA. SI LA GANANCIA PROPORCIONAL ES DEMASIADO PEQUEÑA, LA RESPUESTA DEL CONTROLADOR SERÁ DEMASIADO Débil Y PRODUCIRÁ Y PRODUCIRÁ UNA RALACION SATIFACTORIA. UNA PROPIEDAD IMPORTANTE DEL REGULADOR PROPORCIONAL (P) ES QUE COMO RESULTADO DE LA Rígida RELACIÓN ENTRE LA SEÑAL DEL ERROR DEL SISTEMA Y LA VARIABLE REGULADA SIEMPRE QUEDA ALGUNA SEÑAL DE ERROR DEL SISTEMA. EL CONTROLADOR P NO PUEDE COMPENSAR ESTA SEÑAL DE ERROR REMALENTE (PERMANENTE) DEL SISTEMA (SEÑAL DE OFFSET).X EJEMPLO SI UTILIZAMOS UN CONTROLADOR PROPORCIONAL PARA CONTROLAR EL POSICIONAMIENTO DE UN BRAZO ROBOT DE UNA CADENA DE MONTAJE, PUEDE SUCEDER QUE AL RECIBIR UNA SEÑAL DE ERROR PARA DESPLAZAR EL BRAZO 1CM EN EL EJE X, EL DESPLAZAMIENTO SEA ÚNICAMENTE DE 9MM. DE ESTE MODO, EL SISTEMA TENDRÁ SIEMPRE UN ERROR REMANENTE DE 1MM POR CADA CM DE DESPLAZAMIENTO. LA FORMA DE CORREGIR ESTE ERROR ES MEDIANTE UN MEJOR AJUSTE DE LA GANANCIA DEL SISTEMA, O MEDIANTE EL USO DE OTRO CONTROLADOR DISTINTO.EJ: UN CONTROLADOR DE NIVEL CON FLOTADOR NOS PERMITIRÁ CONTROLAR EL FUNCIONAMIENTO.  FIG.1

MEDIANTE LA Válvula DE CONTROL CONSEGUIMOS QUE EL CAUDAL DE AGUA AL DEPOSITO SEA IGUAL QUE EL CAUDAL DE SALIDA, A BASE DE MANTENER EL NIVEL CONSTANTE DEL DEPOSITO. CON EL TORNILLO A FIJAMOS EL PUNTO DE AJUSTE PARA EL NIVEL DESEADO. SI SE PRODUCE EL AUMENTO EN EL CANAL DE SALIDA, DISMINUYE EL NIVEL DE DEPOSITO, ENTONCES EL FLOTADOR ATRAVEZ DE UN BRAZO Actúa SOBRE LA VÁLVULA V, HACIENDO AUMENTAR EL CAUDAL DE ENTRADA HASTA QUE SE IGUALE AL SALIENTE. CUANDO SE HALLA ALCANZADO LA IGUALDAD DE LOS CAUDALES, EL FLOTADOR ESTARÁ A UN NIVEL MAS BAJO QUE AL PRINCIPIO, POR LO QUE SE PRODUCE UN ERROR PERMANENTE. OBSERVAMOS QUE EL REGULADOR DE ACCIÓN PROPORCIONAL RESPONDE BIEN A LAS NECESIDADES OPERATIVAS, SI EL ERROR QUE SE PRODUCE ES TOLERABLE. CONTROLADOR DE ACCIÓN INTEGRAL (I): EN UN CONTROLADOR INTEGRAL, LA SEÑAL DE SALIDA DEL MISMO VARIA EN Función DE LA DESVIACIÓN DEL TIEMPO EN QUE SE MANTIENE LA MISMA; O DICHO DE OTRA MANERA, EL VALOR DE LA ACCIÓN DE CONTROL ES PROPORCIONAL A LA INTEGRAL DE LA SEÑAL DE ERROR. ESTO IMPLICA QUE MIENTRAS QUE EN EL CONTROL  PROPORCIONAL NO INFLUIDA EN EL TIEMPO, SI NO QUE LA SALIDA ÚNICAMENTE VARIABA  EN Función DE LAS MODIFICACIONES DE LA SEÑAL DE ERROR, EN ESTE TIPO DE CONTROL LA ACCIÓN VARIA SEGÚN LA DESVIACIÓN DE LA SALIDA Y EL TIEMPO DURANTE EL CUAL ESTA DESVIACIÓN SE MANTIENE.

LA SALIDA DE ESTE REGULADOR ES:FIG.2

ANALIZANDO EL SISTEMA EN EL DOMINIO DE LAPLACE SE OBTIENE LA SIGUIENTE Función DE TRANSFERENCIA DEL BLOQUE DE CONTROL INTEGRAL.  FIG.3

ANTE UNA SEÑAL DE TIPO Escalón. FIG.4

LA PEDIENTE DE LA RAMPA DE ACCIÓN INTEGRAL ES KI LO QUE  INDICA QUE LA VELOCIDAD DE RESPUESTA DE  SISTEMA DE CONTROL DEPENDERÁ DEL VALOR  KI.

EL PROBLEMA PRINCIPAL DEL CONTROLADOR INTEGRADO RADICA EN QUE LAS RESPUESTA INICIAL ES MUY LENTA Y HASTA PASADO UN TIEMPO, EL CONTROLADOR NO EMPIEZA A SER EFECTIVO. SIN EMBARGO ELIMINA EL ERROR REMANENTE QUE TENIA EL CONTROLADOR PROPORCIONAL. CONTROLADOR D ACCIÓN PROPORCIONAL O INTEGRAL (PI): EN LA PRACTICA NO EXISTEN CONTROLADORES QUE TENGAN SOLO ACCIÓN INTEGRAL SI NO QUE LLEVAN COMBINADAS UNA ACCIÓN PROPORCIONAL. ESTAS 2 ACCIONES SE COMPLEMENTAN. LA PRIMERA EN ACTUAR ES LA ACCIÓN PROPORCIONAL (INSTANTÁNEAMENTE) MIENTRAS QUE LA INTEGRAL Actúa DURANTE UN INTERVALO DE TIEMPO. HACI Y POR MEDIO DE LA ACCIÓN INTEGRAL SE ELIMINA LA DESVIACIÓN (PROPORCIONAL).

LA SALIDA DEL BLOQUE DE CONTROL (PI) RESPONDE A LA Ecuación: FIG.5

También PODEMOS EXPRESAR COMO: FIG.6

DONDE KP Y TI SON PARÁMETROS AJUSTABLES DEL SISTEMA. A TI SE LO DENOMINA…. Y CONTROLA LA ACCIÓN INTEGRAL DEL SISTEMA, MIENTRAS QUE KP CONTROLA AMBAS. SI TI ES MUY GRANDE LA PENDIENTE DE LA RAMPA, CORRESPONDIENTE AL EFECTO INTEGRAL SERÁ PEQUEÑA Y, POR LO TANTO, EL EFECTO DE ESTA ACCIÓN ES SUAVE. LO CONTRARIO OCURRE SI TI ES PEQUEÑO (EL EFECTO DE LA ACCIÓN ES FUERTE LO CONTRARIO OCURRE SI TI ES PEQUEÑO. A TI SE LE LLAMA TAMBIÉN TIEMPO DE DUPLICACIÓN; YA QUE ES EL TIEMPO QUE TARDA LA ACCIÓN INTEGRAL EN IGUALAR A LA ACCIÓN PROPORCIONAL ANTE UN ERROR DE TIPO Escalón. FIG.7

ANALIZANDO EL SISTEMA DE DOMINIO DE LAPLACE, SE TIENE: FIG. 8  Y LA Función TRANSFERENCIA SERÁ:FIG.9

COMO SE OBSERVA EN LA FIGURA, LA RESPUESTA DEL CONTROLADOR PI, ES LA SUMA DE LAS RESPUESTAS DE UN CONTROLADOR PROPORCIONAL Y UN CONTROLADOR INTEGRAL, LO QUE PROPORCIONA UNA RESPUESTA INSTANTÁNEA AL PRODUCIRSE LA CORRESPONDIENTE SEÑAL DE ERROR PROVOCADA POR EL CONTROL PROPORCIONAL Y UN POSTERIOR CONTROL INTEGRAL QUE SE ENCARGARA DE EXTINGUIR TOTALMENTE LA SEÑAL DE ERROR . POR EJ: SI APLICAMOS EL CONTROL PI PARA CONTROLAR EL POSICIONAMIENTO DE UN BRAZO ROBOT DE UNA CADENA DE MONTAJE, AL RECIBIR UNA SEÑAL DE ERROR PARA DESPLAZAR EL BRAZO 1 CM EN EL EJE X, SE PRODUCE UN DESPLAZAMIENTO BRUSCO PROVOCADO POR EL CONTROL PROPORCIONAL QUE LO ACERCARA, CON MAYOR O MENOR PRECISIÓN AL PUNTO DESEADO Y, POSTERIORMENTE, EL CONTROL INTEGRAL CONTINUARA CON EL CONTROL DEL BRAZO HASTA POSICIONARLO EN EL PUNTO EXACTO; MOMENTO EN EL QUE DESAPARECERÁ TOTALMENTE LA SEÑAL DE ERROR Y POR LO TANTO QUEDARA ELIMINADO TOTALMENTE EL POSIBLE ERROR REMANENTE DEL SISTEMA. CONTROLADOR DE Acción PROPORCIONAL Y DERIVATIVA (PD): TA ACCIÓN, AL IGUAL QUE LA INTEGRAL NO SE EMPLEA SOLA, SI NO QUE VA UNIDA A LA ACCIÓN PROPORCIONAL. EN EL CONTROL PD LA SALIDA DEL BLOQUE DE CONTROL RESPONDE A LA SIGUIENTE ECUACIÓN: FIG10   LA TRANSFERENCIA DEL BLOQUE DE CONTROL PD ES: FIG11    DONDE KP Y TD SON PARÁMETROS AJUSTABLES DEL SISTEMA. A TD SE LO DENOMINA TIEMPO DERIVATIVO O DE ADELANTO Y CONTROLA LA ACCIÓN DERIVATIVA DEL SISTEMA (TD ES UNA MEDIDA DE LA RAPIDEZ CON QUE UN CONTROLADOR PD COMPENSA UN CAMBIO EN LA VARIABLE REGULADA, CONTROLADA POR UN CONTROLADOR P?), MIENTRAS QUE KP CONTROLA AMBAS ACCIONES. A TD SE LE LLAMA TAMBIÉN TIEMPO DE DUPLICACIÓN, YA QUE ES EL TIEMPO QUE TARDA LA ACCIÓN PROPORCIONAL EN IGUALAR EL EFECTO DE LA ACCIÓN DERIVATIVA ANTE UNA SEÑAL DE ERROR DE TIPO RAMPA.

CONTROLADOR DE Acción PID

APROVECHA LAS CarácterÍSTICAS DE LOS 3 REGULADORES ANTERIORES, DE FORMA, QUE SI LA SEÑAL DE ERROR VARIA LENTAMENTE EN EL TIEMPO, PREDOMINA LA ACCIÓN PROPORCIONAL E INTEGRAL Y, SI LA SEÑAL DE ERROR VARIA RÁPIDAMENTE, PREDOMINA LA ACCIÓN DERIVATIVA. TIENE LA VENTAJA DE TENER UNA RESPUESTA MAS RÁPIDA Y UNA INMEDIATA COMPENSACIÓN DE LA SEÑAL DE ERROR EN EL CASO DE CAMBIOS O PERTURBACIONES. TIENE COMO DESVENTAJA QUE EL LAZO DE REGULACIÓN ES MAS PROPENSO A OSCILAR Y LOS AJUSTES SON MAS DIFÍCILES DE REALIZAR. LA SALIDA DEL REGULADOR VIENE DADA POR LA SIGUIENTE ECUACIÓN.  FIG22

DONDE KP, TI Y TD SON PARÁMETROS AJUSTABLES DEL SISTEMA.

SE OBTIENE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA ULTIMA EXPRESIÓN VA A QUEDAR.   

FIG.23         FIG.24

COMO EJEMPLO DE UN SISTEMA DE CONTROL PID, PODEMOS PONER LA CONDUCCIÓN DE UN AUTOMÓVIL. CUANDO EL CEREBRO DA UNA ORDEN DE CAMBIO DE DIRECCIÓN, EN UNA MANIOBRA NORMAL, LA ACCIÓN DE CONTROL PREDOMINANTE DEL SISTEMA ES LA PROPORCIONAL, QUE APROXIMARA LA DIRECCIÓN AL PUNTO DESEADO DE FORMA MAS O MENOS PRECISA. UNA VEZ QUE LA DIRECCIÓN ESTE CERCA DEL PUNTO DESEADO, COMENZARA LA ACCIÓN INTEGRAL QUE ELIMINARA EL POSIBLE ERROR PRODUCIDO POR EL CONTROL PROPORCIONAL, HASTA POSICIONAR EL VOLANTE EN EL PUNTO PRECISO. SI LA MANIOBRA ES LENTA, LA ACCIÓN DERIVATIVA NO TENDRÁ EFECTO SIGNIFICATIVO. SI LA MANIOBRA REQUIERE MAYOR VELOCIDAD DE ACTUACIÓN, LA ACCIÓN DE CONTROL DERIVATIVO ADQUIRIDA RELEVANCIA, AUMENTANDO LA VELOCIDAD DE RESPUESTA INICIAL DEL SISTEMA Y POSTERIORMENTE ACTUARA LA ACCIÓN PROPORCIONAL Y FINALMENTE LA INTEGRAL. EN EL CASO DE UNA MANIOBRA MUY BRUSCA, EL CONTROL DERIVATIVO TOMARA MÁXIMA RELEVANCIA, QUEDANDO CASI SIN EFECTO LA ACCIÓN PROPORCIONAL E INTEGRAL, LO QUE PROVOCARA MUY POCA PRECISIÓN EN LA MANIOBRA.