Coordenadas y Cambio de Base en Espacios Vectoriales

Coordenadas en Espacios Vectoriales

Sea V un espacio vectorial sobre un campo K.

Base de un Espacio Vectorial

Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes que generan V. Lo indicamos como:

B = (v₁, v₂, …, v_n)

Una base ordenada es aquella en la cual los vectores se especifican en un cierto orden:

B = (v₁, v₂, …, v_n) ⟶ Base ordenada de V sobre K

Sea V un espacio vectorial sobre un campo K.

B = (v₁, v₂, …, v_n) ⟶ Base ordenada de V sobre K

Cualquier vector v ∈ V se expresa de forma única como combinación lineal de los vectores de la base.

v ∈ V ⇒ v = α₁v₁ + α₂v₂ + ⋯ + α_nv_n

Los escalares utilizados en la combinación lineal, se denominan coordenadas del vector v respecto de la base B y lo indicamos:

[v]_B = [α₁, α₂, …, α_n]^T

(v)_B = (α₁ + α₂ + ⋯ + α_n)

Propiedades de las Coordenadas

1. (u + v)_B = (u)_B + (v)_B
2. (λ * u)_B = λ(u)_B ∀ λ ∈ K & u, v ∈ V

En base a estas propiedades:

(α₁v₁ + α₂v₂ + ⋯ + α_nv_n)_B = α₁(v₁)_B + α₂(v₂)_B + ⋯ + α_n(v_n)_B

Las coordenadas de una combinación lineal de vectores es igual a la combinación lineal de las coordenadas de cada vector.

Para cada base de un espacio vectorial, queda definida una aplicación lineal que transforma cada vector del espacio vectorial en un vector fila o vector columna de dimensiones n siendo dim V = n.

Cambio de Base

Vamos a determinar cómo se relacionan las coordenadas de un vector respecto de bases distintas.

Sea V un espacio vectorial sobre un campo K → dim V = n

B = (v₁, v₂, …, v_n)

B´ = (v₁´, v₂´, …, v_n´) ⟶ Dos bases ordenadas de V sobre K

Si v ∈ V se verifica que:

v = α₁v₁ + α₂v₂ + ⋯ + α_nv_n ; [v]_B = [α₁, α₂, …, α_n]^T

* v = β₁v₁´+ β₂v₂´+ ⋯ + β_nv_n´ ; [v]_B´ = [β₁, β₂, …, β_n]^T

Se expresa como combinación lineal de forma única

Tomamos coordenadas respecto de la base B en *

[v]_B= [β₁v₁´+ β₂v₂´+ ⋯ + β_nv_n´]_B

Por las propiedades de combinación lineal de coordenadas:

[v]_B= β₁[v₁´]_B + β₂[v₂´]_B + ⋯ + β_n[v_n´]_B

Por las propiedades de producto de matrices:

[v]_B = M_B´B * [v]_B´

M_B´B: Matriz de cambio de base de B´ a B