Curva de wilson

Al considerar una curva definida por una función y su respectiva derivada que son continuas en un intervalo [a, b], la longitud S del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:

En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t como e , la longitud del arco desde el punto hasta el punto se calcula mediante:

Si la función esta definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo polar están relacionados mediante , la longitud del arco comprendido en el intervalo , toma la forma:

n la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible y será necesario usar métodos de integración numérica. Por ejemplo, aplicar esta fórmula a la circunferencia de una elipse llevará a una integral elíptica de segundo orden.

Supongamos que tenemos una curva rectificable cualquiera, regida por una función , y supongamos que queremos aproximar la longitud del arco de curva S que va desde un punto a a uno b. Con este propósito podemos diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura. Para hacer a este método "más funcional" también podemos exigir que las bases de todos aquellos triángulos sean iguales a ?x, de manera que para cada uno existirá un cateto ?y asociado, dependiendo del tipo de curva y del arco elegido, siendo entonces cada hipotenusa igual a , al aplicarse el teorema pitagórico. Así, una aproximación de S estaría dada por la sumatoria de todas aquellas n hipotenusas desplegadas. Por eso tenemos que;

Pasemos a operar algebraicamente la forma en que calculamos cada hipotenusa para llegar a una nueva expresión;

Luego, nuestro resultado previo toma la siguiente forma:

Ahora bien, mientras más pequeños sean estos n segmentos, mejor será la aproximación buscada; serán tan pequeños como deseemos haciendo que ?x tienda a cero. Así, ?x deviene en dx, y cada cociente incremental ?y_i / ?x_i se transforma en un dy / dx general, que es por definición . Dados estos cambios, nuestra aproximación anterior se convierte en una sumatoria más fina y ahora exacta, una integración de infinitos segmentos infinitesimales;