Derivadas Vectoriales, Diferenciabilidad y Teoremas Clave

La Función Derivada Respecto de un Vector

Si f : C → R^q definida en un abierto C ⊆ R^p es derivable respecto de un vector u distinto de 0 en todos los puntos de C.

Funciones de Clase

Sea f : C → R^q función definida en C ⊆ R^p abierto y a ∈ C. Se dice que f es de clase C⁰ en a si f es continua en a, y que es de clase C⁰ en C si f es continua en C.

Se dice que f es de clase C¹ en a si f tiene sus p derivadas parciales en un entorno de a y éstas son continuas en a. Se dice que f es de clase C¹ en C si f es de clase C¹ en todo punto a de C.

Definición de Función Diferenciable

Sea f : C → R^q una función definida en un abierto C ⊆ R^p y sea a ∈ C. Se dice que f es diferenciable en a cuando se cumple una de las condiciones siguientes (que son equivalentes):

• Existe una aplicación lineal, denominada diferencial de f en a y que denotaremos df(a) : R^p → R^q, de modo que se cumpla l´ım_x→a (f(x) − f(a) − df(a)(x − a)) / ||x − a|| = 0
• Existe una aplicación lineal df(a) : R^p → R^q y una función (definida en un entorno del origen para el cual a + h ∈ C) tipo h ↦ φ(h) tal que f(a + h) − f(a) = df(a)(h) + φ(h)||h|| y l´ım _h→0 φ(h) = 0.

Regla de la Cadena

Si f es diferenciable en x, y g es diferenciable en y = f(x), entonces g ◦ f es diferenciable en x, y se cumple d(g ◦ f)(x) = dg(f(x)) ◦ df(x).

Funciones Homogéneas. Definición

Sea f : C → R una función real definida en un abierto C ⊆ R^p.

Se dice que f es homogénea de grado α ≠ 0 en C si para cada x ∈ C y cada t > 0 con t x ∈ C se verifica f(tx) = t^α f(x).

Teorema de Euler

Sea f : C → R una función diferenciable definida en un abierto C ⊆ R^p.

Si f es homogénea de grado α ≠ 0 en C, entonces ∇f(x) · x = x₁ ∂f/∂x₁ (x) + · · · + x_p ∂f/∂x_p (x) = α f(x) ∀ x = (x₁, . . . , x_p) ∈ C; y viceversa.

Teorema de Taylor

Sea f : C → R una función real definida en un abierto C ⊆ R^p y sean a, a + h ∈ C dos puntos de C tales que [a, a + h] ⊆ C. Si f es de clase Cⁿ en todos los puntos de [a, a + h], entonces existe ξ ∈ (a, a + h) tal que

f(a+h) = f(a)+df(a)(h)+ 1/2! d² f(a)(h)+· · ·+ 1/(n − 1)! d^n-1 f(a)(h)+r_n(h) con r_n(h) = 1/n! dⁿ f(ξ)(h).