Ejercicios resueltos de cálculo diferencial e integral: optimiza tu aprendizaje

Ejercicios resueltos de cálculo diferencial e integral

Antiderivadas, derivadas y aplicaciones

1. ¿Cuál es la antiderivada de [F(x) + G(x)] si f(x) = X² y g(x) = 2x?
   • [f(x) + G(x)] = 1/3x³ + x² + C
2. ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a la parábola y = 4x² en el punto (1, 4)?
   • y + 8x - 12 = 0
3. Determina la expresión que permite calcular el área entre las funciones:
   • A = {¹₃ (-x² + 3x + 6)dx + {³₄ (3 - x)dx
4. ¿Cuánta energía W se requiere emplear para comprimir 10 cm un resorte de constante K = 100 N/m?
   • W = ∫1000xdx = 5 Nm
5. Identifica la opción donde se presenta correctamente el resultado de la siguiente expresión (f - g)(x) con las funciones f(x) y g(x):
   • f(x) - g(x)
6. En el libro del módulo "Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales" se indica que el crecimiento de la población P en el tiempo t está dado por la expresión: dp/dt, donde r es la tasa de crecimiento neto de la población. ¿Cuál de las siguientes funciones satisface la expresión del crecimiento de población?
   • P = 25e^rt
7. Observa cada una de las gráficas de las funciones dadas y menciona para cuál(es) de las funciones dadas se cumple que el límite cuando x tiende a cero existe.
   • 2 y 3
8. ¿Es diferenciable en x = 2 la función siguiente?
   • No, porque no existe f(2)
9. ¿Cuánto vale la derivada en Q(3, 3) de la función: y = 3^3x2?
   • y(x) = ln(3)(3x²)(6x); y(3) ≈ 0.667
10. ¿Cuál es la antiderivada de la función f(x) = 1/x²?
    • F(x) = -1/x + C
11. Identifica y ordena los pasos de la definición que permiten obtener y'(x) = 6x + 5 como derivada de la función y(x) = 3x² + 5x:
    • 1 - 5 - 2 - 4
12. La tabla presenta datos de temperatura de una noche en la ciudad de Orizaba. ¿Cuál es la razón de cambio ΔT/Δt promedio de la temperatura a las 3 am?
13. Identifica en la siguiente expresión al integrando y a la constante de integración:
    • Integrando: A
    • Constante: F
14. Analiza la siguiente presentación digital y responde lo que se indica, redondeando a las décimas.
15. Desde una plataforma de 1 m de altura se lanza una pelota hacia arriba y alcanza una altura máxima de 12.025 m en 1.15 segundos. ¿A qué velocidad se lanzó la pelota? Información física: considerar la aceleración de la gravedad en 9.8 m/s². Vo = ?
16. Si n es un número entero positivo y f(x) = xⁿ, de acuerdo con la regla de diferenciación para potencias con exponentes enteros positivos, indica a qué es igual su derivada:
    • f'(x) = nx^n-1
17. Define y = f(x) que establece el consumo de fertilizante en toneladas en función del número x de hectáreas. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa una razón de cambio de +2 toneladas de hectáreas?
18. El precio al público por año de un producto agrícola se reporta en la hoja de cálculo mostrada en miles de pesos. ¿Cuál es el total de lo recibido entre 2002 y 2006 en miles de pesos?
19. Indica las condiciones que se deben cumplir para que la función f(x) = 2 - x² sea continua en el intervalo [-2, 2]:
    • 0, 0 es continuo
20. Utiliza la fórmula apropiada para obtener el área indicada por la integral:
    • A ≈ 1.386
21. La derivada de la función f(x) = e^2x es f'(x) = 2e^2x y la derivada de la función g(x) = sen 3x es g'(x) = 3cos 3x. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde con la derivada de la función h(x) = f(x)g(x)?
    • h'(x) = (2e^2x)(3cos 3x) + (sen 3x)(2e^2x)
22. Utilizando el límite de Fermat, ¿cuál es el valor aproximado de la derivada de la función representada en la hoja de cálculo mostrada? Considerar dos cifras decimales.
23. Se desea integrar...
24. ¿Cuál de las siguientes fórmulas se utiliza para encontrar la antiderivada de una función f(x) = xⁿ donde n y p son números racionales?
25. ¿Cuál es el límite de la función f(x) = 4 cuando el límite de x → 0?
    • 4
26. ¿Qué es lo que haces para poder explicar por qué un problema de la vida diaria puede ser observado y resuelto aplicando el teorema fundamental del cálculo?
    • Escuchas los puntos de vista de los demás y preparas los tuyos para debatirlos.
27. ¿Cuál es la sustitución de variable apropiada para realizar estas integrales? P1: ..., P2: ...
    • [P1: u = (1 - x²)³]
    • [P2: u = (4 + sen 2x)²]
28. Clasifica la función de acuerdo con sus características como continua, derivable e integrable en el intervalo [0.5, 1.5]:
    • Continua, no derivable, integrable
29. Utiliza la fórmula de sumatoria apropiada para encontrar el valor de la suma A = Σ3² considerando i de 1 a 5. Con la fórmula S₅:
    • A = 3
30. Utiliza la regla general de la potencia para determinar la integral...