Ejercicios resueltos de capitalización compuesta y cálculo de rentas financieras

Ejercicio 1: Capitalización compuesta con diferentes tipos de interés

El Sr. Pérez coloca, en régimen de capitalización compuesta con capitalizaciones mensuales, 1.000,00 € en una cuenta bancaria a cinco años que le paga un 12,68% efectivo anual los tres primeros años y un 8% nominal o convertible anual los dos años siguientes.

a. ¿Cuánto dinero le corresponde percibir al Sr. Pérez al final de los cinco años?

• Interés mensual para el primer tramo de tres años: i = 12,68% i₁₂ = (1 + 0,1268)^1/12 - 1 = 0,01 = 1%
• Interés mensual para el segundo tramo de dos años: i₁₂ = 0,08 / 12 = 0,0067 = 0,67%
• C₆₀ = 1.000,00 × (1,01)^{3 × 12} × (1,0067)^{2 × 12} = 1.679,47 €

b. ¿Cuál es el tipo de interés efectivo anual de la operación, en tanto por ciento efectivo anual y redondeado de acuerdo a los criterios TAE?

1.000,00 × (1 + i)⁵ = 1.679,47 (1 + i)⁵ = 1,67947 i = (1,67947)^1/5 - 1 = 0,1092628 i = 10,93%

Ejercicio 2: Cálculo del valor actual de una renta

Calcule el valor en el instante de tiempo 0 de una renta cuyos 36 capitales que la componen son los siguientes:

• a. 10 capitales de 1.000,00 € con vencimientos al final de los periodos 1, 2, 3… 10.
• b. 25 capitales de 2.000,00 € con vencimiento al final de los periodos 12, 13… 36.
• c. Un capital de 5.000,00 € con vencimiento en el instante de tiempo 40.

La valoración, en régimen de capitalización compuesta, se hará al 3% los 12 primeros periodos, al 4% los 10 periodos siguientes y al 5% los restantes.

V₀ = 1.000 × a_10¬0,03 + 2.000 × (1 + 0,03)^-12 + 2.000 × a_10¬0,04 × (1 + 0,03)^-12 + 2.000 × a_14¬0,05 × (1 + 0,04)^-10 × (1 + 0,03)^-12 + 5.000 × (1 + 0,05)^-18 × (1 + 0,04)^-10 × (1 + 0,03)^-12 = 31.675,52 €

Solución: (31.675,52 €; 0)

Ejercicio 3: Cálculo de la cuota de un préstamo y su TAE

Cierta entidad bancaria ofrece entre sus productos un préstamo cuyas características son las siguientes:

• a. Plazo: 5 años con pagos trimestrales constantes.
• b. Tipo de interés anual nominal o convertible: 9%
• c. Comisión de apertura, cobrada por la entidad financiera: 1% sobre el principal
• d. Otros gastos (que no cobra la entidad financiera) en los que incurre el prestatario en el momento de formalizar la operación: 2% sobre el principal.

3.1. Cuantía del término amortizativo constante para un préstamo de 10.000,00 € de principal.

i₄ = 0,09 / 4 = 0,0225 = 2,25%

a = 10.000 / a_20¬0,0225 = 626,42 €

3.2. Plantee la ecuación o ecuaciones que permiten determinar la TAE del mencionado préstamo.

10.000 - (100) - 626,42 / (1 + r₄) - 626,42 / (1 + r₄)² - ... - 626,42 / (1 + r₄)²⁰ = 0

Debe tenerse en cuenta la comisión del 1% sobre el principal que cobra la entidad financiera (100,00 €).

TAE = i_e = [(1 + r₄)⁴ - 1] × 100

El tipo de interés efectivo i_e será la TAE de la operación

Ejercicio 4: Construcción del cuadro de coste amortizado

Los flujos de caja derivados de cierto activo financiero son los siguientes:

Sabiendo que el tipo de interés efectivo semestral es del 6% y que los periodos son SEMESTRALES, construir el cuadro de coste amortizado.

Aclaraciones a algunos cálculos:

1. Los periodos son semestres, lo que supone que DOS periodos es la frontera entre el C/P y el L/P.
2. Valor del C/P en el instante 0: 15.000,00 × 1,06^-1 + 25.000,00 × 1,06^-2 = 36.400,85. Al ser periodos semestrales el C/P abarca dos semestres.
3. Reclasificación del periodo 1: 44.720,00 × 1,06^-2 = 39.789,30. Hay que reclasificar por dos periodos (desde el 3 hasta el 1) el flujo de caja del periodo 3.
4. Valor del C/P del periodo 1: 36.400,85 + 2.184,05 + 39.798,30 - 15.000,00 = 63.385,55