Ejercicios Resueltos de Derivadas y Rectas Tangentes: Teorema de Bolzano y Aplicaciones

A continuación, se presentan varios ejercicios resueltos relacionados con derivadas, rectas tangentes y el teorema de Bolzano.

Ejercicio 1: Aplicación del Teorema de Bolzano

5. a) ¿Podemos afirmar, aplicando el teorema de Bolzano, que la ecuación tiene alguna solución en el intervalo?

f no es continua en el intervalo. Por lo tanto, no podemos aplicar el teorema de Bolzano. Esto no quiere decir que no haya soluciones, sino que no podemos determinarlo con este teorema.

b) ¿Y en el intervalo [−1, 1]? En caso afirmativo, calcule esta solución con un error menor que 0,1.

f es continua en [−1,1]. Se puede aplicar el teorema de Bolzano.

Ejercicio 2: Recta Tangente en un Punto

Determina la ecuación de la recta tangente a la función f(x) = x² - x en el punto P(1, 2).

• Calculamos la derivada:

f'(x) = 2x - 1

• Evaluamos en x = 1:

f'(1) = 2(1) - 1 = 1

La pendiente de la recta tangente es m = 1.

• Ecuación de la recta con la fórmula y - y₀ = m(x - x₀):

y - 2 = 1(x - 1)

y = x + 1

Respuesta: y = x + 1

Ejercicio 3: Recta Tangente en un Punto de Abscisa

Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = x³ - 5x en el punto de abscisa x = 2.

• Derivada:

f'(x) = 3x² - 5

• Evaluamos en x = 2:

f'(2) = 3(2)² - 5 = 12 - 5 = 7

• Encontramos f(2):

f(2) = (2)³ - 5(2) = 8 - 10 = -2

Punto: (2, -2).

• Ecuación de la recta:

y - (-2) = 7(x - 2)

y + 2 = 7x - 14

y = 7x - 16

Respuesta: y = 7x - 16

Ejercicio 4: Rectas Tangente y Normal

Encuentra las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la función f(x) = x² - 2x en el punto x = 1.

• Derivada:

f'(x) = 2x - 2

• Evaluamos en x = 1:

f'(1) = 2(1) - 2 = 0

La pendiente de la recta tangente es m = 0, por lo que la recta es horizontal.

• Encontramos f(1):

f(1) = (1)² - 2(1) = 1 - 2 = -1

Punto: (1, -1).

• Ecuación de la recta tangente:

y - (-1) = 0(x - 1)

y = -1

• Ecuación de la recta normal:

La pendiente de la recta normal es m_n = -1/m, pero como m = 0, la recta normal es una línea vertical en x = 1.

Ecuación de la recta normal: x = 1

Recta tangente: y = -1

Recta normal: x = 1

Ejercicio 5: Rectas Paralelas

Encuentra los valores del parámetro k para que las rectas y = x + 2 e y = kx - 18 sean paralelas.

• Para que dos rectas sean paralelas, sus pendientes deben ser iguales.

La pendiente de y = x + 2 es m₁ = 1.

La pendiente de y = kx - 18 es m₂ = k.

• Para que sean paralelas:

m₁ = m₂

1 = k

Respuesta: k = 1

Ejercicio 6: Recta Tangente y Parámetro

Considera la función f(x) = √x + m.

(a) Calcula el valor de m para el cual la recta de ecuación 2x - y = -2 sea tangente a la gráfica de f(x) en x = 2.

(b) Encuentra el valor de m para el cual la recta tangente a la gráfica de f(x) en x = 1 pase por el punto Q(1, 0).

Apartado (a)

• Reescribimos la ecuación de la recta en forma pendiente-intersección: y = 2x + 2. La pendiente es m = 2.
• Derivamos f(x): f'(x) = 1/(2√x)
• Evaluamos en x=2: f'(2) = 1/(2√2)
• Para que la derivada sea igual a la pendiente de la recta: 1/(2√2) = 2. Resolviendo, vemos que no hay un valor de m que lo haga posible.

Apartado (b)

• Ecuación de la recta tangente en x = 1: f'(1) = 1/(2√1) = 1/2. La pendiente es 1/2.
• Calculamos f(1): f(1) = √1 + m = 1 + m

Punto: (1, 1 + m). Debe pasar por (1, 0), así que:

1 + m = 0 ⇒ m = -1

(a) No hay un valor de m que lo haga posible.

(b) m = -1

Ejercicio 7: Recta Tangente a una Circunferencia

Determina la ecuación de la recta tangente a la curva x² + y² - 16 = 0 en el punto de abscisa 3 y ordenada positiva.

• Ecuación de la circunferencia:

x² + y² = 16

• Encontramos y en x = 3:

3² + y² = 16

9 + y² = 16

y² = 7

y = √7 (tomamos la positiva)

• Derivamos implícitamente:

2x + 2y(dy/dx) = 0

• Despejamos dy/dx:

dy/dx = -x/y

• Evaluamos en (3, √7):

dy/dx = -3/√7

• Ecuación de la recta:

y - √7 = -3/√7 (x - 3)

Respuesta:

y = -3/√7(x - 3) + √7

Ejercicio 8: Funciones con la Misma Tangente

Las funciones f(x) y g(x) cortan la recta y = 5x - 2 en el punto P(1, 3). Determina los valores de las derivadas f'(1) y g'(1) en este punto.

Si ambas funciones son tangentes a la recta y = 5x - 2 en x = 1, entonces sus pendientes en ese punto deben coincidir con la pendiente de la recta.

La pendiente de la recta es m = 5, por lo que:

f'(1) = g'(1) = 5

Respuesta: f'(1) = 5, g'(1) = 5