Ejercicios Resueltos de Estadística: Variables Aleatorias, Distribuciones y Estimación

A continuación, se presentan una serie de ejercicios resueltos sobre variables aleatorias, distribuciones de probabilidad y estimación estadística.

Variables Aleatorias y Distribuciones

1. 1. Sea X una v.a. de tipo continuo:

   c) f(x) = δF(x)/δx

2. 2. Sean Xi ∈ B(p=0.5) independientes, la v.a. Σ(i=1 hasta 60) Xi, tiene por distribución:

   c) N(media=30; σ=√15)

3. 3. Si X ∈ N(μ=0, σ=2), la v.a. Y = 3X + 1 tiene por distribución:

   c) N(μ=1, σ²=36)

4. 4. Sea Z1 ∈ N(0,1), independiente de Z2 ∈ N(0,1) y sea X = Z1²/Z2², entonces:

   b) X ∈ t (1)

5. 5. En una distribución F de Fisher-Snedecor con 5 grados de libertad en el numerador y 7 en el denominador, la P(X=7.4604) es:

   a) 0

6. 6. El estadístico media muestral, obtenido por m.a.s. en una población de media μ y desviación típica σ, tendrá por distribución:

   c) Bajo determinadas circunstancias una Normal con media μ, varianza σ²/n

7. 7. Un estimador asintóticamente insesgado es aquel que:

   c) Su esperanza tiende al parámetro a estimar cuando aumenta el tamaño muestral considerablemente.

8. 8. Un estimador consistente es aquel que:

   b) Bajo ciertas condiciones, su varianza tiende a cero.

Más Ejercicios Resueltos

1. 1. Siendo x1 y x2 dos valores cualesquiera de una v.a. X, tales que x1 < x2:

   a. p(x1) <= p(x2)

2. 2. Sea X una v.a. de tipo discreto:

   b. f(x) = P(X = x)

3. 3. La corrección de Continuidad de Yates se aplica cuando aproximamos:

   b. Una distribución discreta por una continua.

4. 4. Si X ∈ N(media=0, varianza=2), la v.a. Y = 2X + 1 tiene por distribución:

   a. N(media=1, varianza=8)

5. 5. Sean Xi ∈ B(p), independientes. La v.a. Σ(i=1 hasta 8) Xi:

   a. b(8,p)

6. 6. La Función de Distribución de la N(0,1) es:

   b. Creciente

7. 7. Sea Z ∈ N(0,1), independiente de χ²(n): X = Z / √(χ²(n)/n)

   b. X ∈ t (n)

8. 8. El cuantil F0.95 de una distribución F de Fisher-Snedecor con 12 grados de libertad en el numerador y 15 en el denominador es:

   b. 2.476 (El valor proporcionado de 0.3821 es incorrecto)

9. 9. Los intervalos de confianza bilaterales I0.99 e I0.95 para μ en una población normal son tales que:

   b. I0.95 ⊂ I0.99

10. 10. Un estimador asintóticamente insesgado es aquel que:

    c. Su esperanza tiende al parámetro a estimar cuando aumenta el tamaño muestral considerablemente.

11. 11. El coeficiente de confianza en una estimación por intervalos, es:

    b. El complementario de alfa

12. 12. Dada una muestra de tamaño 16 de una población Normal de media desconocida y varianza 4. Si la media muestral es 25.3, el intervalo de confianza bilateral para μ es:

    c. I0.95=[24.32, 26.28]

13. 13. Dada una muestra piloto de tamaño 11 extraída de una población normal de media y varianza desconocidas en la que S²=4.41, se desea una estimación de μ con una precisión de 0.5 y una confianza del 99%, ¿qué tamaño de muestra (redondeado al entero mayor) sería necesario?

    c. 179

14. 14. En una población en la que se conoce que su función de densidad es f(x) = θx^(θ-1) para 0 < x < 1, se extrae una muestra de tamaño 10 y de media 4. Un estimador puntual de θ (por máxima verosimilitud) es:

    a. 0.25 (Este resultado parece incorrecto dado que la media muestral es 4 y la función de densidad está definida para 0 < x < 1. Revisar el enunciado y/o la solución.)

15. 15. Se ha medido la longitud de una determinada pieza en 100 ejemplares procedentes de una población Normal de varianza desconocida, resultando la media = 27cm y la desviación típica: 1.5cm. ¿Puede aceptarse que la media μ de la población es inferior a 30 cm? Nivel de significación del 5%

    c. Sí, porque T=-19.89 y C.R. (-∞, -1.66)