Elasticidad y Ley de Hooke en Estructuras de Edificación

Introducción

Las estructuras de edificación están constituidas por elementos simples que al combinarse generan multitud de estructuras. Las caracterizaciones de los elementos dependen de una serie de propiedades entre las que señalaremos:

• Dimensiones generales de la pieza
• Forma
• Material

Es importante diferenciar entre los conceptos de tensión y esfuerzo. Esfuerzo es la acción que “solicita” al elemento. En función de la forma del elemento, éste, se tensionará más o menos. Tensión es por tanto la fuerza por unidad de superficie que la pieza soporta (σ=F/A).

Por tanto, definimos tensión como fuerza por unidad de superficie que el material de la que está constituido la pieza soporta.

Elasticidad

Definimos elasticidad como la propiedad que tienen ciertos materiales de sufrir deformaciones bajo la acción de fuerzas exteriores y de recuperar la forma original cuando estas acciones desaparecen, dicho de otra manera, llamamos elasticidad a la capacidad que tienen los materiales de volver a su posición inicial después de haber sufrido una deformación.

Supongamos una barra de longitud l que soporta una tensión σ provocada por una carga P. Dentro de un determinado margen o dominio, aparecerá una deformación δ. Si desaparece la carga P, la barra vuelve a su posición inicial recobrando el alargamiento provocado δ. La elasticidad de los materiales se calcula dentro de un dominio que hace que todos los materiales sean elásticos, todos los materiales trabajan dentro de un módulo elástico.

Alargamiento unitario por unidad de longitud. Es la relación entre el alargamiento y la longitud de la barra.

ε=δ/l

Ley de Hooke

En el comportamiento elástico de un material, el alargamiento δ es directamente proporcional a la fuerza P que la produce, a la longitud l de la barra e inversamente a la sección de la misma y a su módulo de elasticidad.

En la siguiente imagen vemos la curva e tensión-deformación, resultante del ensayo realizado en una barra.

Una vez visto el ensayo de una barra sometida a tracción, podemos diferencias varios tramos:

• Tramo elástico, definido por una línea recta, conocido como el límite elástico.
• Límite plástico, cuando la línea de tensión describe una curva, se encuentra entre los valores σ_pl y σ_y.
• Límite de fluencia; el material se deforma sin apenas recibir una tensión, es casi paralelo al eje horizontal, hasta que llega a un punto en el que de nuevo vuelve a ofrecer cierta resistencia.
• Punto de rotura, a partir del cual el material empieza a descender.

En la gráfica se aprecia que la línea del tramo elástico define un ángulo α que es constante y diferente para cada material. Viendo la gráfica deducimos que: tan α = σ/ε = E, como el ángulo es constante, también lo es su tangente que definimos como E; que es una característica de cada material, por lo que es distinto según el material que estemos utilizando. La magnitud E, es conocida como el módulo de Young o módulo de elasticidad.

Si despejamos σ, obtenemos σ = Eε, por lo que la tensión es directamente proporcional al la deformación Eε → deformación. Antes hemos visto que σ = F/A, y que ε = δ/l, si sustituimos esto en la ecuación anterior, obtenemos que: F/A = E · δ/l ; δ = Fl /EA , que corresponde al alargamiento unitario por unidad de longitud.

Principio de Williot. Cálculo de deformaciones

El cálculo de la deformación de cada elemento de una estructura se puede realizar mediante los siguientes procedimientos:

• La relación tensión-deformación del material.
• La relación fuerza-desplazamiento generalizada. En el caso de estructuras de nudos articulados, esta relación es fuerza axial - deformación de las barras de la estructura.

Cálculo de la estructura deformada

Una vez conocidas las deformaciones locales de cada elemento de la estructura, el cálculo de la deformada de la estructura completa se reduce a un problema geométrico. Como hemos visto la deformación lineal de una barra viene dada por la expresión: δ = Fl /EA

Para obtener el diagrama de Williot se realizan los siguientes pasos:

1. Se calcula la deformación de las barras.
2. La barra 1 se somete a un esfuerzo de tracción, se produce un alargamiento desde A hasta A1.
3. La barra 2 se somete a un esfuerzo de compresión, se produce un acortamiento desde A hasta A2.
4. Puesto que las barras deben permanecer unidas, la posición final del punto A será el punto de intersección de las trayectorias de los extremos de las barras 1 y 2 al girar, respectivamente, alrededor de los puntos B y C.
5. Asumimos pequeños desplazamientos, sustituimos los arcos de circunferencia por perpendiculares a las barras 1 y 2 en los puntos A1 y A2
6. La posición final del nudo A es desde A a AA.
7. El desplazamiento absoluto del punto A viene dado por el vector A-AA.