Entendiendo las Derivadas: Un Enfoque al Cálculo

Tasas de Variación y Derivadas de una Función

Tasa de Variación

La tasa de variación de una función en un intervalo [a, b] es la diferencia entre los valores de las imágenes de los puntos extremos del intervalo. Indica el cambio experimentado por una función en dicho intervalo.

TV [a, b] = f(b) - f(a)

• Si TV [a, b] > 0, la función crece.
• Si TV [a, b] < 0, la función decrece.
• Si TV [a, b] = 0, la función es constante.

Tasa de Variación Media

La tasa de variación media de una función en un intervalo [a, b] es el cociente entre la variación de la variable dependiente y la variación de la variable independiente. Indica cómo y cuánto crece una función.

TVM [a, b] = (f(b) - f(a)) / (b - a)

Otra notación de la tasa de variación media de una función en [x₀, x₀ + h] es:

TVM [x₀, x₀ + h] = (f(x₀ + h) - f(x₀)) / h

Tasa de Variación Instantánea

La tasa de variación instantánea (TVI) de una función en x = x₀ se define como el límite cuando h tiende a 0 del cociente entre la variación de las imágenes de x₀ + h y x₀, y h.

TVI [x₀] = lim_h→0 (f(x₀ + h) - f(x₀)) / h

La TVI de una función en el punto x = x₀ es la derivada de la función.

f'(x₀) = lim_h→0 (f(x₀ + h) - f(x₀)) / h

Si la derivada de una función en un punto existe, decimos que la función es derivable en ese punto.

Función Derivada

La función derivada de una función es la aplicación que asocia a cada valor de x, donde la función es derivable, el valor de la derivada en ese punto.

f'(x) = lim_h→0 (f(x + h) - f(x)) / h

Derivabilidad de una Función

La idea intuitiva de derivabilidad es que la función sea suave, es decir, que no haya picos o cambios bruscos. No todas las funciones continuas son derivables. Una función es derivable en x = a si es continua en x = a y existen y son iguales los límites laterales.

f'(a) = lim_x→a^- f'(x) = lim_x→a⁺ f'(x)

Para estudiar la derivabilidad de una función:

1. Continuidad en cada tramo y/o puntos críticos.
2. Derivabilidad, solo donde es continua, en cada tramo y/o puntos críticos.

Recta Tangente a una Función

Para calcular la pendiente de la recta tangente, debemos aproximar el punto (b, f(b)) al punto (a, f(a)) tanto como sea posible.

Ecuación: lim_h→0 (f(a + h) - f(a)) / h = f'(x)

Es decir, la recta tangente a una función en el punto x = a tiene las siguientes características: pasa por (a, f(a)) y su pendiente es f'(a).

La ecuación general de una recta es: y = mx + n.

La ecuación de la recta tangente a una función en el punto x = a es: y - f(a) = f'(a) * (x - a).