Explorando las Funciones Polinómicas: Conceptos, Elementos y Operaciones
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Función Polinómica: Una Exploración Detallada
Se denomina función polinómica o polinomio a aquella función que se obtiene combinando sumas de productos de funciones idénticas y constantes, la cual se expresa de la siguiente manera:
P(x) = An xⁿ + An-1 xⁿ⁻¹ + ... + A2 x² + A1 x¹ + A0 x⁰
Ejemplos de Polinomios:
- P(x) = ⅖x - 3x² + 8x - 12
- P(x) = -27x³ + 9x² + x - 7
- f(x) = 4x⁵ - 2x³ + 11x² + 2
Elementos de un Polinomio
Términos de un Polinomio:
Los términos de un polinomio se identifican cuando están separados por el signo "+" o el signo "-".
Término Independiente de un Polinomio:
Se denomina término independiente al término que no contiene ninguna variable, es decir, el que se multiplica por x⁰, que es igual a 1.
Grado de un Polinomio:
El grado de un polinomio se refiere al mayor exponente de la variable x en el polinomio.
Coeficiente de un Polinomio:
Las letras An, An-1, ..., A2, A1, A0 son los coeficientes del polinomio. Estos pueden ser números reales o complejos.
Polinomio Ordenado:
Un polinomio está ordenado cuando los exponentes de la variable están dispuestos en orden decreciente o creciente.
Polinomio Completo:
Un polinomio es completo cuando los exponentes de la variable x están sucesivamente en unidades, desde la potencia de mayor grado hasta el término independiente.
Polinomios Iguales:
Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y los coeficientes de las potencias de igual grado coinciden.
Ejemplo:
Determina si los siguientes polinomios son iguales:
5x⁴ - 3x³ - ⅕x² - x + 9 = 5x⁴ - 3x³ - ⅕x² - x + 9
(2) Calcular los valores de a, b, c tal que:
7x² + 5x + 9 = ax² + (a - b)x + (a + b + c)
a = 7
a - b = -5
a + b + c = 9
Resolviendo el sistema:
a = 7
b = 12
c = -5
(3) Explorar los valores de K, h, d, n tales que:
(K + h)x² - 6x² + 4x + K = 10x³ + (d + n)x² + (d + n)x + 11
Solucionando:
K = 11
h = -1
d = -7
n = 6
Términos Semejantes de un Polinomio:
Dos o más términos de un polinomio se dicen semejantes cuando tienen la misma variable con el mismo exponente.
Ejemplos:
- 5x² + 9x - 11x⁴
- x²y + 14x⁷
Reducción de Términos Semejantes:
Para reducir términos semejantes, se suman o restan los coeficientes y se conserva la variable con el mismo grado.
Ejemplo:
Reducir los siguientes términos semejantes:
- -17x⁴ + 6x⁴ - 8x³ = -11x⁴ - 8x³
- 33x³ + x³ - 9x³ = 25x³
Valor Numérico de un Polinomio:
El valor numérico de un polinomio es el valor que se obtiene cuando se sustituyen los valores de las variables en el polinomio dado.
Ejemplo:
Calcular el valor de N(x) = 2x³ - 3x² + 5x - 8 para x = 3 y x = 4.
Para x = 3:
N(3) = 2(3)³ - 3(3)² + 5(3) - 8 = 54 - 27 + 15 - 8 = 34
Raíces de un Polinomio:
Se llaman ceros o raíces de un polinomio a los valores de x que, al ser sustituidos en el polinomio dado, dan un valor numérico igual a 0.
Ejemplo:
Determina si x = -3 es una raíz del polinomio:
P(x) = x³ - 3x² - 13x + 15
Sustituyendo x = -3:
P(-3) = (-3)³ - 3(-3)² - 13(-3) + 15 = -27 - 27 + 39 + 15 = 0
Por lo tanto, x = -3 es una raíz.
Operaciones con Polinomios:
Las operaciones con polinomios incluyen adición, sustracción, multiplicación y división.
Ejemplo:
Realiza la siguiente operación:
(12x² + 4x - 5) ÷ (x + 2)
Resolviendo la división:
C(x) = 2x² + 2x - 9
R(x) = -52
Teorema del Residuo:
El residuo de dividir un polinomio dado entre un binomio de la forma (x - a) es igual al valor del polinomio evaluado en x = a.
Ejemplo:
Calcular el residuo de dividir el polinomio 2x³ - 9x² + 4x - 8 entre (x + 2):
Sustituyendo x = -2:
Residuo = 2(-2)³ - 9(-2)² + 4(-2) - 8 = -16 - 36 - 8 - 8 = -68
División Sintética - Regla de Ruffini:
La división sintética es un método para dividir un polinomio dado entre un binomio de la forma (x - a).
Ejemplo:
Aplicando la regla de Ruffini, hallamos el cociente y el residuo de la siguiente división:
(2x³ - 5x² - 9x - 8) ÷ (x + 2)
El cociente es: 2x² - 9x + 22
El residuo es: -52