Explorando las Matrices: Tipos, Propiedades y Operaciones

Tipos de Matrices

Matriz triangular superior (inferior): es toda matriz que tiene nulos todos los elementos que están por debajo (por encima) de la diagonal principal.

Matriz diagonal: es toda matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que no están en la diagonal principal.

Matriz escalonada por filas: es aquella que tiene, al principio de cada fila no nula, al menos un cero más que la anterior.

Propiedades de las Matrices

Es importante señalar que:

• a) El elemento neutro de la suma en el conjunto de matrices M_nxm es la matriz nula, denotada O_nxm.
• b) El elemento neutro del producto en el conjunto de matrices cuadradas M_n es la matriz unidad I_n.
• c) El producto de matrices en M_n no verifica la propiedad conmutativa.

1. (A^t)^t = A para cualquier matriz A.
2. (A+B)^t = A^t + B^t ∀ A, B ∈ M_nxm.
3. (s·A)^t = s·A^t ∀ s ∈ R y ∀ A ∈ M_nxm.
4. (A·B)^t = B^t·A^t ∀ A ∈ M_nxm y ∀ B ∈ M_mxp.

La traza de una matriz cuadrada A es igual a la suma de los elementos de su diagonal principal, es decir, tr(A) = Σ a_ii.

Operaciones Elementales en Matrices

Las operaciones elementales que se pueden realizar en una matriz son:

• a) Cambiar entre sí dos filas (o columnas).
• b) Multiplicar una fila (o columna) por un número real no nulo.
• c) Sumar a una fila (o columna) una combinación lineal de las restantes.

Definición: Si en una matriz A se realizan operaciones elementales, la matriz B que se obtiene es equivalente a A y se denota A ≈ B.

Definición: La inversa de una matriz cuadrada A es otra matriz B que verifica A·B = B·A = I_n.

Una matriz es ortogonal si su traspuesta coincide con su inversa, es decir, A^-1 = A^t, o lo que es lo mismo AA^t = A^tA = I_n.

Propiedades de los Determinantes

1. El determinante de una matriz y el de su traspuesta coinciden. Es decir, |A| = |A^t|.
2. Si en una matriz se intercambian entre sí dos filas o columnas, el determinante cambia de signo.
3. El determinante de una matriz con una fila o columna cuyos elementos son ceros es nulo.
4. El determinante de una matriz con dos filas o columnas iguales o proporcionales es nulo.
5. El determinante es nulo si y solo si existe una fila o columna que es combinación lineal de las restantes.
6. Si en una matriz se multiplican los elementos de una fila o columna por un número real, el determinante queda multiplicado por ese número real.
7. Si en una matriz se suma a una fila o columna una combinación lineal de las restantes filas o columnas, el determinante de la matriz no varía.
8. El determinante del producto de dos matrices cuadradas del mismo orden es el producto de los determinantes de dichas matrices. Es decir, |A·B| = |A|·|B| ∀ A, B ∈ M_n.
9. Una matriz A es regular si y solo si su determinante no es nulo.

Rango de una Matriz

El rango de una matriz es el máximo número de filas (columnas) linealmente independientes.

Teorema de Rouché-Frobenius

Dado un sistema AX=B con n incógnitas, se tiene:

• a) rg(A) = rg(A|B) = r ⇒ sistema compatible. Además:
  • r = n ⇒ sistema compatible determinado.
  • r < n ⇒ sistema compatible indeterminado.
• b) rg(A) ≠ rg(A|B) ⇒ sistema incompatible.

Un sistema AX = B se dice que es de Cramer si tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y el rango de A es el máximo que puede tener (|A| ≠ 0).