Explorando la Recta y Funciones: Conceptos Clave y Ecuaciones Fundamentales

La Recta: Definición y Ecuaciones

Se llama recta k que pasa por P con la dirección v al conjunto de todos los puntos (X), tales que el vector PX y el vector v tienen la misma dirección. Es decir, cuando existe algún número real λ tal que:

Ecuaciones de la Recta

• Ecuación vectorial:
• Ecuación paramétrica:
• Ecuación continua:

Ecuación General y Explícita

• Ecuación general:
• Ecuación explícita:
  • m = pendiente
  • n = ordenada en el origen

Recta que Pasa por Dos Puntos

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

Ecuación Punto-Pendiente

Si conozco un punto de la recta P(p1, p2) y su pendiente m, la ecuación es:

Ecuación punto-pendiente:

En resumen: vectorial y paramétricas son ecuaciones técnicas. En los ejercicios, según los datos, usaré: continua, recta por 2 puntos, y punto-pendiente. Me podrían pedir calcular: general y explícita.

Posición Relativa de Dos Rectas

Dadas 2 rectas r y s representadas en ecuación general:

• Si A1/B1 ≠ A2/B2 se cortan en un punto (una única solución).
• Si A1/B1 = A2/B2 pero ≠ C1/C2 son paralelas (no tiene solución).
• Si son iguales entre sí y entre C1/C2 son coincidentes (son la misma recta, infinitas soluciones).

Producto Escalar

Dados 2 vectores u y v, llamo producto escalar de u y v al número real que se obtiene: u · v = |u| · |v| · cos θ. Se demuestra que: si v=(v1,v2) y u=(u1,u2), u · v = u1 · v1 + u2 · v2. Si 2 vectores son perpendiculares, su producto escalar es 0. Perpendicular -> ángulo 90º, u·v= |u|·|v| cos 90º = 0. Si el producto escalar de dos vectores vale 0 entonces son perpendiculares porque θ = arccos(u·v/|u|·|v|) = arccos(0/|u|·|v|) = arccos(0) = 90º. Equivalencia perpendiculares <-> producto escalar 0.

Funciones: Definición y Propiedades

Llamamos función a una relación entre 2 magnitudes de manera que existen leyes que permiten asignar a cada valor de la primera magnitud un único valor de la segunda. A la primera magnitud la llamamos variable independiente y la representamos por X y a la segunda variable dependiente y la representamos por Y.

Formas de Representar una Función

• Utilizando el lenguaje: ejemplo: relación entre el número de chicles que compro y el precio que pago.
• En forma de tabla.
• En forma de gráfica.
• Con una fórmula: Y=f(x).

El conjunto de todos los valores que puede tomar la variable se le llama dominio, al conjunto de todas las imágenes se le llama recorrido o imagen de la función.

Máximos y Mínimos Relativos y Absolutos

Dada una función f(x) continua en un punto x=a decimos que presenta en ese punto un máximo relativo, si a la izquierda de dicho punto, la función es creciente y a la derecha decreciente. Si la función es decreciente a la izquierda y creciente a la derecha tiene un mínimo relativo. Si se verifica que f(x) < f(a) para todo x, entonces tiene un máximo absoluto. Si f(x) > f(a), entonces tiene un mínimo absoluto.

Simetría de Funciones

• Una función es simétrica respecto al eje Y si al doblar por dicho eje, las dos partes coinciden, es decir, los valores x e -x tienen ambos la misma imagen.
• Una función es simétrica respecto al origen de coordenadas si al doblar por un eje y luego por el otro las 2 partes coinciden, es decir, si f(-x) = -f(x).