Formulario Completo de Geometría Analítica del Espacio: Productos, Ecuaciones y Posiciones

Geometría Analítica del Espacio

Productos

Producto Escalar: u · v = |u| · |v| · cos(α) => cos(α) = (u · v) / (|u| · |v|). Si u es perpendicular a v, entonces u · v = 0.

Producto Vectorial: |u x v| = |u| · |v| · sen(α) = |matriz|. Área del paralelogramo = |u x v|. Área del triángulo = |u x v| / 2.

Ecuaciones

Vectorial: (x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + λ(u₁, u₂, u₃)

Paramétrica:

• x = x₀ + λ · u₁
• y = y₀ + λ · u₂
• z = z₀ + λ · u₃

Continua: (x - x₀) / u₁ = (y - y₀) / u₂ = (z - z₀) / u₃

Implícita:

• Ax + By + Cz + D = 0
• A'x + B'y + C'z + D' = 0

Plano

Definido por un punto y dos vectores.

Punto Medio

M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2, (z₁ + z₂) / 2)

Puntos Alineados

Misma recta = rg 1

Posiciones Relativas

Rectas

1. Tenemos dr, ds, Pr, Ps. Proporcional dr a ds:
   • SI: puntos comunes (misma recta), puntos no comunes (paralelas).
   • NO: determinante dr, ds, PrPs:
     • = 0 (se cortan)
     • ≠ 0 (se cruzan)
2. rg(M) = 1
   • rg(M*) = 1, coinciden
   • rg(M*) = 2, paralelas
3. rg(M) = 2
   • rg(M*) = 2, cortan
   • rg(M*) = 3, cruzan
4. f. implícita.

Recta y Plano

1. f. paramétrica dr · n = 0, paralelas; dr · n ≠ 0, cortan.
2. Punto de corte: recta paramétrica. Sustituimos x, y, z (de r) en el plano y hallamos λ.
3. f. implícita

Dos Planos

Tres Planos

• rgM = rgM* = 3, punto común.
• rgM = 2, rgM* = 3, no puntos en común.
• rgM = rgM* = 2, recta común.
• rgM = 1, rgM* = 2, paralelas.
• rgM = rgM* = 1, coincidentes.

Ángulos

Rectas: cos(α) = |dr · ds| / (|dr| · |ds|)

Planos: cos(α) = |n · n'| / (|n| · |n'|)

Recta y plano: cos(90 - α) = |dr · n| / (|dr| · |n|)

Distancias

Puntos: d(P, P') = |PP'|

Punto recta: d(P, r) = d(P, P'), P' = proyección de P en r. d(P, r) = |RP x d| / |d|

Punto plano: d(P, π) = |a · x₀ + b · y₀ + c · z₀ + d| / √(a² + b² + c²)

Recta plano: Si r es paralelo a π, P pertenece a r, d(r, π) = d(P, π)

Planos: Si π es paralelo a π', P pertenece a π, d(π, π') = d(P, π')

Rectas paralelas: Punto genérico de r y s, R y S, |RS|

Rectas que se cruzan: d(r, s) = d(Q, π) = h = Vparalelogramo / Abase = |[u, v, PQ]| / |u x v|

Área Triángulo

Conocidos vértices: 1/2 |AB x AC|