Fórmulas y Conceptos de Geometría Espacial

Prisma

Volumen: V = A_base x h

Área Lateral: A_l = suma de las áreas de las caras laterales

Área Total: A_t = 2 x A_base + A_lateral

Cubo o Hexaedro Regular

Volumen: V = a³

Área Total: A_t = 6a²

Diagonal de una cara: d = a√2

Diagonal del cubo: D = a√3

Paralelepípedo o Prisma Rectangular

Volumen: V = a x b x c

Área Total: A_t = 2(ab + ac + bc)

Diagonal del paralelepípedo: D = √(a² + b² + c²)

Cilindro

Área Lateral = Manto

Volumen: V = A_base x h = πr²h

Área Lateral: A_l = Perímetro_base x h = 2πrh

Área Total: A_t = 2 x A_base + A_lateral = 2πr(r+h)

Pirámide

(Manto = Triángulos Isósceles)

Volumen: V = 1/3 A_base x h

Área Total: A_t = A_base + A_lateral

h = cúspide a la base

Apotema: h de cada triángulo

Cono

Generatriz: h de la cúspide a la circunferencia de la base = g = √(r² + h²)

Volumen: V = 1/3 A_base x h = 1/3 πr²h

Área Lateral: A_l = πrg = πr√(r² + h²)

Área Total: A_t = A_base + A_lateral = πr(r+g)

Esfera

Área: A = 4πr²

Volumen: V = 4/3 πr³

Pirámides

Base cuadrada: Ap_basal = lado del cuadrado/2

Base triángulo equilátero: Ap_basal = (a√3/2) x 1/3

Base hexágono: Ap_basal = a√3/2 (de un triángulo equilátero)

Rectas y Planos en el Espacio

Recta: formada por infinitos puntos

Plano: superficie lisa que se extiende en todas direcciones

Puntos colineales: 3 o más puntos distintos que pertenecen a la misma recta

Rectas coincidentes: rectas que tienen 2 o más puntos comunes (misma recta)

Rectas coplanares: rectas en un mismo plano

Rectas paralelas: rectas coplanares cuya intersección es vacía o que son coincidentes

Rectas alabeadas: rectas no coplanares de intersección vacía

Propiedades

Por dos puntos solo pasa una recta

Dos rectas no coincidentes intersectan en un punto

Si una recta tiene dos puntos comunes con un plano, toda la recta está en el plano

Todo plano tiene al menos 3 puntos no colineales

Solo existe un plano que contiene a dos rectas que se intersectan

Dada una recta y un punto fuera de ella solo existe un plano que las contiene

Una recta intersecta a un plano en un punto

La intersección de dos planos no coincidentes es una recta

Plano

Dos rectas que se intersectan, 3 puntos no colineales, una recta y un punto fuera de ella, dos rectas paralelas.

Figuras Convexas

Para cada par de puntos, el segmento está en la figura

Figuras No Convexas = Cóncavas

Separación del Plano

Cada semiplano es convexo, PQ intersecta a L, α = α₁ U L U α₂

Cuerpos Geométricos

Cuerpo Geométrico: cuerpo limitado por superficies planas o curvas

Cuerpo Redondo: superficies curvas

Poliedro: cuerpo con caras polígonos

4: tetraedro... pentaedro, hexaedro, heptaedro, octaedro, eneaedro, decaedro, dodecaedro (12), icosaedro (20)

Poliedro Regular: caras y ángulos congruentes. Solo 5 (sólidos platónicos):

• Cubo (hexaedro regular)
• Tetraedro regular (4 triángulos equiláteros)
• Octaedro regular (8 triángulos equiláteros)
• Icosaedro regular (20 triángulos equiláteros)
• Dodecaedro regular (12 pentágonos regulares)

Arista: intersección de dos caras de un poliedro