Fórmulas y Procedimientos con Vectores, Planos y Rectas en el Espacio

Operaciones con Vectores, Planos y Rectas

Producto Vectorial

Producto Vectorial: Se calcula el determinante con (i, j, k) y a continuación los dos vectores.

Área de un Triángulo y un Paralelogramo

Área del Triángulo: Se calcula (A x B) para obtener un vector y (A x C) para obtener otro vector. Luego, se calcula el determinante con (i, j, k) y a continuación los dos vectores resultantes. Finalmente, el área del triángulo es |AB x AC| / 2.

Área del Paralelogramo: Se calcula como ||AB x AC||, que es la raíz cuadrada del resultado del área del triángulo elevado al cuadrado.

Cálculo de Vértices en Paralelogramos

Paralelogramos (ABCD): Se calcula el punto medio Mx = (C + A) / 2, e igualmente para My y Mz, obteniendo así las coordenadas del punto medio. Luego, se utiliza la fórmula (coordenadas del punto medio) = (B + Dx) / 2, e igualmente para Dy y Dz, para obtener el punto D.

Volumen de un Paralelepípedo y un Tetraedro

Volumen del Paralelepípedo: Dados tres vectores (u, v, w), se calcula el determinante de estos tres vectores para obtener el volumen.

Volumen del Tetraedro: Dados cuatro puntos (A, B, C, D), se calculan los vectores (AB) = B - A, (AC) = C - A, (AD) = D - A. Luego, se calcula el determinante de estos tres vectores para obtener el volumen.

Cálculo del Valor de K en una Configuración de Puntos

Valor de K con (ABCD): Se calculan los vectores (AB) = B - A, (BC) = C - B, (CD) = D - C. Luego, se calcula el determinante de estos tres vectores.

Ecuación General del Plano

Ecuación General del Plano:

1. Con un punto A y un vector normal al plano, la ecuación es Ax + By + Cz + D = 0.
2. Con un punto A y dos vectores en el plano, se calcula el determinante con A en la primera fila y los dos vectores en las filas siguientes.

Ecuación de una Recta que Pasa por un Punto y Contiene un Vector

Ecuación Paramétrica y Continua de la Recta: Dado un punto A y un vector director v, la ecuación paramétrica es (x, y, z) = (A) + λ(v), donde λ es un parámetro. Luego, se expresa en forma continua como (x - Ax) / vx = (y - Ay) / vy = (z - Az) / vz.

Ecuación del Plano que Pasa por el Punto Medio de un Segmento

Ecuación del Plano que Pasa por el Punto Medio: Dado un segmento AB, se calcula el punto medio E = (A + B) / 2. Luego, se calcula el vector AE = E - A. Finalmente, con el punto E y el vector AE, se obtiene la ecuación del plano como Ax + By + Cz + D = 0.

Verificación de Puntos en un Mismo Plano

Comprobación de Coplanaridad: Dados cuatro puntos (A, B, C, D), se calculan los vectores (AB) = B - A y (AD) = D - A. Luego, se calcula el determinante con (x - Ax, y - Ay, z - Az) en la primera fila y los vectores AB y AD en las filas siguientes. Si el resultado es 0 al sustituir las coordenadas del punto C, entonces los cuatro puntos están en el mismo plano.

Incidencia entre Recta y Plano

Incidencia: Se resuelve el sistema formado por la ecuación del plano y la ecuación de la recta para encontrar el punto de intersección (x, y, z).

Posición Relativa de Dos Rectas

Posición Relativa de las Rectas r y s: Se calculan los vectores (AB) = B - A para la recta r y (CD) = D - C para la recta s. Si se da un parámetro λ, se le asigna un valor. Luego, se calcula el vector (AC) = C - A. Se calcula el determinante con los vectores AB, CD y AC. Si el determinante es 0, las rectas se cortan o son coincidentes.

Posición Relativa de una Recta y un Plano

Posición Relativa de una Recta y un Plano: Se resuelve el sistema formado por la ecuación del plano y la ecuación de la recta. Si el determinante es 0, la recta está contenida en el plano o es paralela a él.

Determinación de Parámetros para la Posición Relativa de una Recta y un Plano

Determinación de a y b para la Posición Relativa de una Recta y un Plano: Se forma el determinante con la matriz ampliada del sistema formado por la recta y el plano. Se calcula el determinante de la matriz y se realizan las comprobaciones para los casos de sistema compatible determinado (SCD), sistema incompatible (SI) y sistema compatible indeterminado (SCI). Luego, se calculan los valores de b dando valores a a y realizando las comprobaciones correspondientes.

Cálculo de Parámetros en Planos con Condiciones Específicas

Cálculo de a en Dos Planos que Pasan por un Punto A y no por B: Se sustituyen las coordenadas del punto A en las ecuaciones de los dos planos. Se selecciona la solución correcta o ambas soluciones y se calcula el valor de a para el punto B. El valor de a que cumpla la condición pertenece al plano correcto.

Ángulos entre Rectas, Planos y Recta-Plano

Ángulos entre Rectas: Se calculan los vectores directores (AB) = B - A de las rectas y sus módulos. Luego, se aplica la fórmula cos(x) = |v · u| / (||v|| ||u||) y se expresa el resultado en grados.

Ángulos entre Planos: Se obtienen los vectores normales de los planos y se calculan sus módulos. Luego, se aplica la fórmula cos(x) = |v · u| / (||v|| ||u||) y se expresa el resultado en grados.

Ángulos entre Recta y Plano: Se obtiene el vector normal del plano y se calcula su módulo. Se obtienen dos puntos de la recta y se calcula el vector director y su módulo. Luego, se aplica la fórmula cos(x) = |v · u| / (||v|| ||u||).

Distancias

Distancia entre Dos Puntos: Dados dos puntos A y B, se calcula el vector (AB) = B - A y su módulo. La distancia es d(A, B) = ||AB||.

Distancia entre un Punto y un Plano: Se aplica la fórmula d(A, plano) = |Ax + By + Cz + D| / √(A² + B² + C²), donde (x, y, z) son las coordenadas del punto A y Ax + By + Cz + D = 0 es la ecuación del plano.

Distancia entre Dos Planos Paralelos: Se obtiene un punto A de uno de los planos dando valores a dos de las variables. Luego, se aplica la fórmula de la distancia entre un punto y un plano d(A, plano) = |Ax + By + Cz + D| / √(A² + B² + C²).