Función de Prandtl y Torsión en Barras: Conceptos y Analogías

Función de Prandtl: Obtención y Visualización

Método para Obtener la Función de Prandtl

La manera más sencilla de obtener la función de Prandtl es ensayar con la función implícita de la curva que describe el contorno completo de la sección, o funciones obtenidas por manipulaciones matemáticas sencillas de esta, considerando que tiene que ser nula en todos los puntos del contorno de esta. En algunas ocasiones no va a poder ser obtenida de esta forma, teniendo que ser preciso recurrir a desarrollos en serie de la referida función implícita, truncados en el término que se considere oportuno, obteniéndose, por tanto, una función aproximada.

Visualización en Laboratorio: Analogía de la Membrana

La forma de visualizar la función de Prandtl en el laboratorio es recurriendo a la analogía de la membrana.

Modelos de Navier-Bernoulli y Timoshenko: Similitudes y Diferencias

Esencialmente, ambos modelos se diferencian en que el de Timoshenko considera las deformaciones debidas a las tensiones tangenciales y el de Navier-Bernoulli las desprecia (considera que son nulas por definición) frente al resto de términos a la hora de obtener la función de desplazamientos u_x(x, y, z) en los puntos de la barra, hipótesis que se ampara en la esbeltez de la barra. Por tanto, puede decirse que el modelo de Navier-Bernoulli se deriva del modelo de Timoshenko haciendo nulas en este último las deformaciones monodimensionales asociadas a los esfuerzos cortantes, por lo que ambos comparten las mismas ecuaciones:

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Problemas Físicos Análogos a la Torsión Uniforme en Barras

Analogía de la Membrana

La analogía de la membrana establece una relación entre la deformada de una membrana en un problema concreto y la función de Prandtl del problema de torsión. Para obtener la mencionada deformada, se considera un tubo hueco cuya sección es el negativo de la sección de la barra torsionada (las zonas macizas y vaciadas de la barra torsionada están vaciadas y macizadas, respectivamente, en el problema de la membrana) en cuyo extremo se pega una membrana en todos los bordes y zonas macizadas, insuflándose aire a presión por el otro extremo. La deformada de la membrana bajo las condiciones antes descritas, es la visualización a escala de la función de Prandtl del problema análogo de torsión. Con ello, el valor de la pendiente de la membrana en una determinada dirección coincide con el valor la tensión tangencial del problema de torsión en la dirección perpendicular.

Analogía Hidrodinámica

En la analogía hidrodinámica, la analogía se establece entre el campo de velocidades de un fluido ideal al que se le hace circular sin rozamiento en un recipiente cuya base es de nuevo el negativo de la sección del problema de torsión, en el mismo sentido en que se aplica el momento torsor. En aquellas zonas en las que el fluido circule a mayor (o menor) velocidad en una determinada dirección, la tensión tangencial en dicha dirección correspondiente al problema de torsión será también mayor (o menor).

Utilidad y Variables Análogas

La utilidad de estas analogías radica en la posibilidad de visualizar y comprender mejor el comportamiento de la torsión en barras. Las variables análogas en cada caso son:

• Analogía de la membrana:
  • Deformada de la membrana ↔ Función de Prandtl
  • Pendiente de la membrana ↔ Tensión tangencial
• Analogía hidrodinámica:
  • Velocidad del fluido ↔ Tensión tangencial