Fundamentos del Aprendizaje Matemático: Concepciones, Teorías y Didáctica

Concepciones del Aprendizaje Matemático (Godino)

• Concepción Idealista Platónica: Los objetos matemáticos tienen una existencia propia y se debe ayudar a descubrirlos. Considera que el alumno debe adquirir primero las estructuras fundamentales de las matemáticas de forma axiomática. La matemática pura y la aplicada serían dos disciplinas distintas.
• Concepción Constructivista: Consideran las matemáticas como un resultado del ingenio y de la actividad humana. Debe haber una estrecha relación entre las matemáticas y sus aplicaciones a lo largo de todo el currículo. Las aplicaciones deberían preceder y seguir a la creación de las matemáticas.

Teorías del Aprendizaje (Baroody)

• Teoría de la Absorción:
  • Aprendizaje por asociación: Aprender datos y técnicas implica establecer asociaciones.
  • Aprendizaje pasivo y receptivo: Aprender comporta copiar datos y técnicas, es decir, un proceso pasivo.
  • Aprendizaje acumulativo: El crecimiento del conocimiento consiste en edificar un almacén de datos y técnicas.
  • Aprendizaje eficaz y uniforme: La teoría de la absorción parte del supuesto de que los niños están desinformados y se les puede dar información con facilidad.
  • Control externo: El aprendizaje debe controlarse desde el exterior.
• Teoría Cognitiva: Las relaciones son las claves básicas del aprendizaje. Construcción activa del conocimiento. Cambios en las pautas del pensamiento. Límites del aprendizaje. Regulación interna.

Geometría y Secuencia Didáctica

Modelo de Van Hiele

Los niveles son secuenciales y jerárquicos. Dependen de la enseñanza recibida y no de la edad. El nivel de razonamiento del alumno puede depender del contenido geométrico que se trate. Se debe evaluar sus respuestas y el porqué, en vez de lo que está bien o mal. Algunos estudios proponen el modelo de Van Hiele para enseñar matemáticas.

Ejemplo de Actividad: Fases de Van Hiele

1. Fase 1: Mostrar de un grupo de figuras cuáles son rombos y cuáles no.
2. Fase 2: Doblar rombos por ejes de simetría, medir ángulos y lados.
3. Fase 3: Discusión sobre lo descubierto en la fase 2.
4. Fase 4: Dibujar rombos dados algunos de sus lados y vértices.
5. Fase 5: Resumir propiedades e interiorizar.

Resolución de Problemas Geométricos

• Características del enunciado:
  • Relaciones entre figuras.
  • Resolución por fases de Polya.
  • Cantidades referidas a elementos geométricos de las figuras (construir).
• Clasificación:
  • Problemas de encontrar (cuantitativos/cualitativos).
  • Problemas de demostrar (mediante fórmulas).
  • Problemas de construir (propiedades y medidas para construir figuras).
• Dificultades: Desconocer conceptos geométricos, dificultad en la representación gráfica del enunciado, dificultad en el análisis de resultados...

Medida y Etapas de Desarrollo (Piaget)

• Etapa Inicial: El niño no capta la idea de conservación y transitividad. Si se le pide que construya una torre de la misma altura que otra, solo se fijará en la parte alta. Los niños no miden, realizan estimaciones mediante la percepción visual de los objetos.
• Etapa Intermedia: Los niños empiezan a usar instrumentos de medida para comparar objetos, pero de manera incorrecta. Las unidades de medida que usan deben ser mayores que los objetos. Comparan objetos aproximándolos. Logran usar unidades de medida pequeñas para realizar comparaciones (transitividad).
• Etapa Final: Utilizan razonamientos transitivos (empleo de un término medio que hace de unión entre las dos mediciones que se deben comparar). Aprenden a usar unidades de medida menores que los objetos y, si es más grande, aprenden a subdividirla. La etapa se completa cuando aprenden a realizar cálculos de medida de magnitudes basándose en las dimensiones lineales.

Fases del Aprendizaje de la Medida (Chamorro y Belmonte)

Estadios para admitir que un niño conoce y maneja una magnitud dada:

• Percibir y considerar la magnitud como propiedad del objeto.
• Conservación de la magnitud aunque cambie de color, forma...
• Ordenación de la magnitud sin tener en cuenta otras magnitudes distintas de las consideradas.
• Relación magnitud-número: Momento en que el niño es capaz de medir.

Estadística: Niveles de Comprensión de Gráficos

1. Lectura Literal: Lectura literal del gráfico.
2. Interpretar Datos: Interpretación e integración de los datos en el gráfico.
3. Hacer Inferencias: El lector realiza predicciones e inferencias a partir de los datos del gráfico.
4. Valorar Datos: Valorar la fiabilidad y completitud de los datos.

Aritmética: Secuencia Didáctica

1. Preparación: Competencias que se esperan del alumno, bloques que se trabajarán, otras áreas que se trabajarán, objetivos que se esperan del alumno.
2. Realización:
   • Consecuencia de la tarea.
   • Proceso: Planificación, contenidos, intenciones, realización, revisión.
   • Organización de la tarea: Individual, por grupos...
   • Actividades sistematizadas de los contenidos: Explicitar la información que se tiene, buscar nueva...
3. Evaluación:
   • Evaluación inicial: Análisis del punto de partida, detección de las situaciones particulares de cada alumno.
   • Evaluación durante el proceso: Observación de los procesos que siguen los alumnos (abierta, con pautas...), interacción entre compañeros, revisión del producto con ayuda del profesor.

Contar: Errores y Principios

Errores al Contar

1. Errores de recitado.
2. Errores de coordinación.
3. Errores de partición.

Principios del Aprendizaje al Contar

• Principio de Abstracción: Una colección de objetos es un conjunto contable.
• Principio de Orden Estable: Las palabras utilizadas al contar deben producirse con un orden establecido entre término y término.
• Principio de Irrelevancia del Orden: El orden en que se cuentan los objetos no afecta el resultado final.
• Principio de Biunivocidad: Correspondencia uno a uno.
• Principio de Cardinalidad: El último término obtenido al contar todos los objetos indica la cantidad de objetos de la colección.