Fundamentos de Funciones: Dominio, Recorrido y Tipos

Producto Cartesiano y Relaciones

Dados dos conjuntos A y B, llamamos producto cartesiano de A y B, y lo anotamos A x B, al conjunto de los pares ordenados cuyo primer componente pertenece a A y el segundo a B.

Ejemplo: A = {0, 2, 3}, B = {4, 5}. A x B = {(0,4), (0,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5)}

Relación entre dos conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, llamamos relación R de A en B, y lo anotamos R: A → B, a todo subconjunto de A x B.

Ejemplo: R = {(2,4), (2,5)}

Dominio de una relación

Sea R: A → B, llamamos dominio de R, y lo anotamos D(R), al conjunto formado por los elementos de A que tienen al menos una imagen.

Ejemplo: D(R) = {2}

Recorrido de una relación

Sea R: A → B, llamamos recorrido de R, y lo anotamos Rec(R), al conjunto formado por los elementos de B que tienen al menos una preimagen.

Funciones

Dada una relación F: A → B, decimos que F es una función si y solo si cada elemento de A tiene una y solo una imagen.

Tipos de Funciones

Función Inyectiva

Una función F es inyectiva si y solo si elementos distintos de A tienen imágenes distintas en B.

Función Sobreyectiva

Una función F es sobreyectiva si y solo si todo elemento de B tiene al menos una preimagen en A.

Función Biyectiva

Una función F es biyectiva si y solo si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Intervalos

Intervalos Acotados

Dados dos números a y b, con a < b:

1. Intervalo abierto de extremos a y b, se anota (a, b).
2. Intervalo cerrado de extremos a y b, se anota [a, b].
3. Intervalo semiabierto cuando uno de los extremos no pertenece al intervalo, se anota [a, b) o (a, b].

Intervalos No Acotados

1. Intervalo abierto si el extremo no pertenece al intervalo: (a, +∞) o (-∞, a).
2. Intervalo cerrado si el extremo pertenece al intervalo: [a, +∞) = {x ∈ ℝ / x ≥ a} o (-∞, a] = {x ∈ ℝ / x ≤ a}.

Restricción de una Función

Dada una función F: A → B y una función F^*_x: X → B, decimos que F^*_x es una restricción de F si se cumple:

1. X está incluido estrictamente en A.
2. Para todo x ∈ X, F(x) = F^*_x(x).

Igualdad de Funciones

Dadas dos funciones F: X → Y y G: A → B, decimos que son iguales, y lo anotamos F = G, si se cumple:

1. X = A
2. Y = B
3. F(x) = G(x) para todo x ∈ X.

Función Inversa

Sea F: A → B una función biyectiva. Llamamos función inversa de F, y la anotamos F^-1, a la función F^-1: B → A / F^-1(y) = x ↔ F(x) = y.