Fundamentos de Probabilidad y Combinatoria en la Educación Primaria

1. Obstáculos para la Inclusión de la Probabilidad en Educación Primaria

• Ausencia de la combinatoria en el currículo de estos niveles.
• Ausencia de la idea probabilística en el currículo.
• Recomendaciones metodológicas en la enseñanza del tratamiento de la información que no incluyen el mundo probabilístico y combinatorio.
• Visión restringida del pensamiento matemático que no permite la inclusión de la incertidumbre.

2. Principios Didácticos para Introducir el Azar en Educación Primaria

• Aprovechar el entorno del niño (juegos, loterías, etc.) para incluir el azar.
• Preparar ejemplos en los que el niño, mediante diagramas de árbol, pueda organizar datos e introducir el concepto de aleatoriedad.
• Desarrollar el vocabulario probabilístico usando las expresiones coloquiales del mundo del azar.

3. Sucesos Equiprobables y No Equiprobables

Sucesos Equiprobables:

Son aquellos sucesos que tienen la misma probabilidad de ocurrencia. Ejemplo: Lanzamiento de una moneda.

Sucesos No Equiprobables:

Son los que no tienen la misma probabilidad de ocurrencia.

4. Concepto de Suceso Seguro e Imposible

El suceso seguro es el que siempre ocurre, y el suceso imposible no puede ocurrir. Ejemplo: Relojes.

5. Suceso Elemental y Suceso Compuesto

Suceso Elemental:

Es el suceso E que contiene exactamente un punto muestral de S, esto es, N(E) = 1. Ejemplo: En el experimento de lanzar una moneda al aire, S = {c, x}, c y x son sucesos elementales.

Suceso Compuesto:

Es el suceso E que contiene más de un punto muestral de S, por tanto N(E) > 1. Ejemplo: En el anterior, que salgan al menos dos caras.

6. Unión e Intersección de Sucesos. Complementario de un Suceso

Unión de sucesos originales: es el suceso que sucede si y solo si A sucede o B sucede o ambos suceden.

Intersección de los sucesos originales: es el suceso que sucede si y sólo si A y B suceden simultáneamente. Ejemplo: Se lanza un dado al aire. A = {2, 4, 6} (que salga par), B = {3, 6} (que salga múltiplo de 3). AUB = {2, 3, 4, 6}. AnB = {6}.

Complementario de un suceso: Suceso contrario a un suceso A. Ac = 1 - A. Ejemplo: Se lanza un dado. A = {3, 6} (Múltiplo de 3). Ac = {1, 2, 4, 5}.

7. Regla de Laplace

Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento de ese espacio. Se define la probabilidad P del evento A como: Nº Casos favorables / Nº Casos posibles.

8. Probabilidad de la Unión de Sucesos. Ley del Producto

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AnB). Si una elección tiene m alternativas posibles y otra n, entonces la realización de ambas tiene m x n.

9. Concepto de Variaciones sin Repetición y con Repetición

Sin Repetición:

Según la regla del producto, las maneras de escoger r elementos distintos de entre un total de n según un determinado orden (orden sí, repetir no, todos no) será igual al producto de: Fórmula:

Con Repetición:

Según la regla del producto, las maneras de escoger r elementos de entre un total de n según un determinado orden, y con la posibilidad de repetir los elementos en cada elección, son: Fórmula:

10. Concepto de Permutaciones con Repetición y sin Repetición

Sin Repetición:

Dados n objetos distintos, llamamos permutación a una ordenación particular de los n objetos en una fila de tal manera que interviene el orden, todas y no se pueden repetir. Pn = n!

Con Repetición:

Si n objetos pueden dividirse en r clases con ni objetos idénticos en cada clase (i = 1, 2,..., r), es decir, tal que Entonces el número de permutaciones posibles es: Fórmula: PR

11. Concepto de Combinaciones sin Repetición

Son los distintos grupos de n elementos que pueden formarse con los m dados, de tal manera que dos grupos se diferencian entre sí de acuerdo con los siguientes criterios: orden no, repetir no, todas no. Fórmula:

12. Concepto de Sucesos Dependientes e Independientes

Ejemplo: Lanzar un dado A = salir un 3, B = salir impar. Encontrar la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un 3 dado que se obtuvo un impar.

P(A) = 1/6, P(B) = 1/2, P(AnB) = 1/6. La P(AnB) es diferente a la P(A) x P(B) => dependiente. La P(AnB) = P(A) x P(B) => independiente.

13. Probabilidad Condicionada. Ley Multiplicativa de la Probabilidad

Probabilidad condicionada: Sea A un evento arbitrario de un espacio muestral Ω, con P(E) > 0. La probabilidad de que un evento A suceda una vez que E ha sucedido o, en otras palabras, la probabilidad condicional de A dado E, se define como: Fórmula: