Geometría analítica y conicas

Rectas:

Formas:

• Forma punto-pendiente
• Forma pendiente ordenada al origen
• Forma segmentaria
• Forma general
• Forma Polar: reemplazar
• Forma normal: (signo opuesto a c)

Polares:

p: foco a directriz. Cos(eje polar) Sen(eje pi/2)

Simetría:

• Eje polar: a) reemplazar θ por -θ y no cambia b) θ por π-θ, r debe quedar como -r
• Eje π/2: a) θ por π-θ y no cambia b) θ por -θ y no cambia
• Al polo: a) r por -r y no cambia b) θ por π+θ y no cambia

Distancia punto a recta:

Conicas:

a) Parábola (1) b) Elipse (0<e<1) c) Hipérbola (>1) d) Circunferencia (0)

a) Parábola:

P=distancia foco a vértice.

Directriz X=-P

Recta tg: derivar la ecuación igualada a 0, reemplazar y por el punto dado y se obtiene la pendiente tg. Normal se pone la misma pendiente opuesta inversa.

b) Elipse

Directriz= a/e -a/e Focos: vértices (a+centro, centro) y (centro, b+centro) Focos (c+centro, centro)

c) Hipérbola

Asíntotas Long lado transversal: 2a, long l conjugado: 2b Long lado recto

Focos: (c, h) (-c, k) o (0, c) (0, -c)

d) Circunferencia:

Forma centro-radio

Ec de la recta tg a la circunferencia:

Prop focal de parábola. Para demostrar que el rayo se refleja y pasa por el foco se debe demostrar que alfa y betta son iguales. Esto equivale a demostrar que el triángulo FQP es isósceles. Se obtiene la ecuación de la recta tg en el punto P(x₀, y₀), con pendiente. Por lo tanto la ec de la recta tg resulta (y-y₀)=m(x-x₀). Se debe demostrar que el triángulo es isósceles, por lo tanto lFPl=lFQl. Para determinar lQPl se debe buscar la intersección de la recta hallada con el eje x. Por lo tanto Por consiguiente, el punto Q queda definido por Q(-x₀, 0). Calculamos la distancias y probamos que lPFl=lQFl.

Ecuaciones paramétricas de la cicloide:

Preguntas:

• Hacer la gráfica y deducir la fórmula en coordenadas polares para las cónicas ¿Qué expresión tiene la ecuación polar si el eje focal es vertical? ¿Qué cónica es r=4/2+3cos?
• Deduzca las ecuaciones paramétricas de la cicloide
• Escribir todas las formas de la ecuación de la recta y deducir la forma segmentaria
• Muestre que el producto mixto es numéricamente igual al volumen del paralelepípedo
• Ecuación de la recta tg a una hipérbola
• Prop focal de la parábola
• Ecuación de recta tg a una elipse
• Ecuación polar de las cónicas
• Deduzca la ecuación general de la recta usando producto escalar. Escribir la ecuación segmentaria de la recta e interpretar el significado de los coeficientes
• Deducir ecuaciones paramétricas de la elipse
• Deducir ecuaciones paramétricas de la hipérbola