Guía Práctica de Álgebra, Cálculo y Optimización: Matrices, Sistemas, Continuidad y Más

Álgebra y Cálculo: Fundamentos Esenciales

Matrices y Sistemas de Ecuaciones

Inversa:

Teorema de Rouché-Frobenius: Para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tenga solución, el rango de la matriz de los coeficientes (R) y el de la matriz ampliada (R') tienen que ser iguales.

• Si R = R': El sistema es compatible.
• Si R = R' = N (nº de incógnitas): El sistema es compatible determinado (SCD).
• Si R = R' y R es diferente de N: El sistema es compatible indeterminado (SCI).
• Si R es diferente de R': El sistema es incompatible.

Un sistema es homogéneo si los términos independientes son nulos y solo admite la solución 000... Para que tenga soluciones distintas de la trivial, el rango de la matriz de los coeficientes tiene que ser menor que el número de incógnitas (que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo).

Continuidad y Derivabilidad

Continuidad: Una función f es continua en un punto a si:

1. Existe f(a).
2. Existe el límite de f(x) cuando x tiende a a.
3. El límite y la imagen coinciden.

Tipos de Discontinuidad:

• Evitable: Existe el límite cuando x tiende a a de f(x). Puede ser que la imagen no coincida con el límite, o que no exista f(a).
• Inevitable: Existen los límites laterales, pero son distintos. Puede ser de salto finito o infinito.
• Esencial: No existen los límites.

Derivabilidad: La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto. m_t = f'(a). Una función es derivable en un punto si es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.

• Recta Tangente: y - f(a) = f'(a)(x - a)
• Recta Normal: y - f(a) = (-1/f'(a))(x - a)

Estudio de Funciones

• Si f'(a) > 0: f es creciente en a.
• Si f'(a) < 0: f es decreciente en a.
• Si f'(a) = 0 y f''(a) < 0: Hay un máximo en a.
• Si f'(a) = 0 y f''(a) > 0: Hay un mínimo en a.
• Si f''(a) > 0: f es cóncava en a.
• Si f''(a) < 0: f es convexa en a.
• Si f''(a) = 0 y f'''(a) ≠ 0: Hay un punto de inflexión en a.

Optimización

1. Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar.
2. Se plantea una ecuación que relacione las distintas variables del problema.
3. Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función de modo que nos quede una sola variable.
4. Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los extremos locales.
5. Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.

Representación Gráfica de Funciones

Dominio, simetría, periodicidad, puntos de corte, asíntotas, ramas parabólicas, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, concavidad y convexidad, puntos de inflexión.

Métodos de Integración

Integración por partes: Se utiliza para la integral de un producto de 2 funciones.

Las funciones logarítmicas, arcos y polinómicas se toman como u, y las exponenciales y trigonométricas como v'.

Integrales Racionales: El grado del numerador es menor que el del denominador; si no, se dividiría. Cambio de variable.

Integral Definida: Es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.