Guía Práctica para el Estudio de Funciones: Monotonía, Curvatura, Simetría y Más

Monotonía

1. Hallar el dominio de la función.
2. Obtener su derivada e igualar a 0.
3. Resolver la ecuación y construir la tabla con los resultados, sustituyendo en la derivada y teniendo en cuenta el dominio (creciente, decreciente).

Curvatura

1. Hallar la segunda derivada e igualar a 0.
2. Resolver la ecuación y construir la tabla.
3. Comprobar: f''(x) < 0 cóncava (-), f''(x) > 0 convexa (+).

Extremos Locales

1. Hallar la primera y segunda derivada.
2. Igualar la primera derivada a 0 y sustituir las soluciones en la segunda derivada.
3. Comprobar: f''(x) > 0 mínimo (cóncava), f''(x) < 0 máximo (convexa).

Puntos de Inflexión

1. Igualar la segunda derivada a 0 y sustituir los valores obtenidos en la tercera derivada. Si al sustituir se obtiene un valor ≠ 0, es un punto de inflexión. Se escribe PI (valor x, valor y en la función principal).

Simetría

1. f(x) = f(-x): par, simétrica respecto al eje OY.
2. f(x) ≠ f(-x): impar, simétrica respecto al origen. No tiene simetría si el denominador al sustituir x por -x queda negativo.

Asíntotas

1. Verticales: Los valores que no pertenecen al dominio.
2. Horizontales: lim (x→∞) f(x)
3. Oblicuas: y = mx + n, donde m = lim (x→∞) f(x) / x, n = lim (x→∞) f(x) – mx.

Ejes de Coordenadas

• OX: y = 0, ⌠y = f(x) y = 0 ; 0 = f(x).

Continuidad

1. Evaluar f(a) en los puntos indicados.
2. Calcular los límites cuando x = a.
3. Verificar si los límites coinciden para determinar si la función es continua.

Derivabilidad

1. Hallar la derivada de las funciones (sistema).
2. Calcular los límites cuando x = a.
3. Verificar si los límites coinciden con f'(a).

Recta Tangente

1. En el punto de abscisa: punto = (0, ), pendiente = f'(0).
2. En el punto de ordenada: punto = se obtiene igualando el punto dado con la función. Ejemplo: 6 = √3 x = 12, luego sustituir la pendiente y'(12).
3. Tangente horizontal: pendiente = f'(0).
4. Recta paralela a la tangente: pendiente = f'(0) = -2 (tomar el número primero de la función y ponerlo en negativo).
5. Puntos de corte con el eje OY y puntos de corte con el eje de coordenadas: punto = (0, ), pendiente = f'(0).

Ejemplos Adicionales

• Extremos locales: f'(2) = 0
• Puntos de inflexión: eje x = 5/3, f''(5/3) = 0
• Pasa por el punto (0,4): f(0) = 4

Conceptos de Velocidad y Aceleración

• Velocidad media: TVM = (e(5) – e(3)) / (5 - 3)
• Velocidad o variación: t(f) el inicial, hallar la derivada de la función principal que es la variación o velocidad.
• Aceleración: es la variable de la velocidad.
• Posición: hallar la función inicial.

Fórmulas de Derivación

• Y = ⁿ√f(x) Y' = f'(x) / (n ⁿ √f(x)^n-1)
• Y = a ^f(x) Y' = a^f(x) ∙ f'(x) ∙ ln(a)
• Y = f(x)ⁿ Y' = n ∙ f'(x) ∙ f(x)^n-1