Homología, Inversión, Tangencias y Elementos Notables del Triángulo: Conceptos y Construcción

Homología

Definición: La homología es una transformación geométrica que relaciona puntos y rectas de un plano.

Hallar el homólogo de un triángulo ABC

1. Unir los puntos con el centro de homología.
2. Prolongar las rectas AB y AC hasta que corten al eje de homología.
3. Unir el punto homólogo A' con un punto del corte del eje y así sucesivamente.

Rectas Límite

1. Por el centro de homología O, trazar una recta paralela a A'B' hasta que corte al eje en el punto L (recta límite).
2. Trazar por O la paralela a AB y cortar en el punto L'.

Obtención de la figura homóloga conocidos A, A', B, B', C, C'

1. Comenzar determinando el centro de homología O, que estará en la intersección de las rectas AA' y BB'.
2. El punto C es un punto doble, por lo tanto, pertenece al eje.
3. La intersección de AB y A'B' nos da el punto M, que es doble porque pertenece al eje.
4. Unir los puntos que faltan por determinar con el centro de homología (OD y OE), ya que en esas rectas estarán los puntos buscados.
5. Prolongar AE y obtener N en el eje, que al unirlo con A' determinará E' en la recta OE.
6. Operar igual para obtener D'.

Obtención de figura homóloga conocido el eje, el centro y una recta límite

1. Desde el centro de homología O, trazar la recta paralela a AB, con lo que se obtiene el punto P' sobre la recta límite L'.
2. Prolongar AB y CD hasta que corten al eje en M y N (puntos dobles).
3. Unir los puntos de la figura con el centro.
4. Unir M y N con P' y en la intersección con las rectas anteriores se obtienen los puntos homólogos.

Inversión

Rectas inversas de circunferencias

• Todas las rectas que no pasan por el centro de inversión tienen como inversa una circunferencia, cuyo centro está en la perpendicular a la recta desde el centro de inversión.
• Todas las circunferencias que pasan por el centro de inversión tienen como inversa una recta perpendicular a la que une el centro de inversión con el centro de la circunferencia.

Circunferencias inversas

Una circunferencia que no pasa por el centro de inversión tiene como inversa otra circunferencia que tampoco pasa por él.

Obtención de puntos inversos conocidos el centro de inversión O y dos puntos inversos

• 1º Caso (A no está alineado con B): Trazar la circunferencia que pasa por los tres puntos, A, A' y B, ya que B' estará en ella y alineado con B y con el centro de inversión.
• 2º Caso (A es un punto doble): Trazar la perpendicular a OA por A y donde la mediatriz de AB la corte, es el centro de la circunferencia que contiene a B'.
• 3º Caso (A y B están alineados): Utilizar unos puntos auxiliares fuera de la recta y así estamos como en el 1º caso.

Tangencias

Circunferencias tangentes a una recta, a una circunferencia y que pasan por un punto P (el cual está en la circunferencia)

1. Trazar una perpendicular desde la recta pasando por el centro de la circunferencia.
2. Con la intersección superior (+) trazar una recta que pasa por el punto P y que corta con la recta R en el punto P'.
3. Por el punto P' construir una perpendicular.
4. Unir el punto P con el centro de la circunferencia. Prolongar y obtener el centro de una tangente (O').
5. Con la intersección inferior (-) trazar una recta que pase por el punto P hasta que corte con la recta R en el punto P''.
6. Trazar una perpendicular y la recta que hemos unido (P con el centro de la circunferencia) la prolongamos y nos da el centro de la otra tangente.

Circunferencias tangentes a una recta que tiene un punto P y a una circunferencia

1. Trazar una perpendicular por el centro de la circunferencia y una perpendicular por P.
2. Unir la intersección superior (+) con el punto P y donde se corte con la circunferencia, nos da el punto P'.
3. Unir el punto P' con el centro de la circunferencia hasta que se corte con la perpendicular y tenemos un centro de una tangente.
4. Unir la intersección inferior (-) con el punto P hasta que se corte con la circunferencia en el punto P''.
5. Unir P'' con el centro de la circunferencia hasta que se corte con la perpendicular y tenemos la segunda tangente.

Circunferencias tangentes a una recta, a una circunferencia y que pasan por un punto P

1. Tomar O (uno de los posibles centros de inversión).
2. Determinar el inverso de P mediante mediatrices.

Circunferencias tangentes a una recta r y que pasen por los puntos A y B

1. Trazar la recta m (mediatriz de los dos puntos).
2. Utilizar una circunferencia auxiliar C' que tenga su centro en m y que pase por los puntos.
3. Trazar el eje radical j que pasa por A y B; donde corte a r, se obtiene el punto potencial P.
4. Determinar la potencia desde P a la circunferencia C' trazando las rectas tangentes.
5. Haciendo centro en P y con radio PT, determinar los puntos de tangencia T1 y T2 sobre r.

Circunferencias tangentes a dos circunferencias y que pasen por un punto P

Considerar las dos circunferencias inversas entre sí y tomar las tangentes entre las rectas y sacar el punto O. Determinar el punto P' mediante mediatrices.

Circunferencias tangentes a una circunferencia C y que pasen por dos puntos A y B

1. Trazar la recta m (mediatriz de los puntos A y B).
2. Utilizar el eje radical r que pasa por A y B. También el eje radical j entre la circunferencia dada y la auxiliar, que se cortan en el punto P.
3. Determinar la potencia desde P a la circunferencia C, trazando las rectas tangentes y obteniendo los puntos de tangencia T1 y T2.
4. Unir estos puntos con el centro O de la circunferencia dada y determinar los centros de las circunferencias solución.

Elementos Notables de un Triángulo y Construcción de un Trapecio

• Alturas - Ortocentro: El ortocentro es el punto de intersección de las tres alturas de un triángulo.
• Medianas - Baricentro: El baricentro es el punto de intersección de las tres medianas de un triángulo.
• Mediatrices - Circuncentro: El circuncentro es el punto de intersección de las tres mediatrices de un triángulo (centro de la circunferencia circunscrita).
• Bisectrices - Incentro: El incentro es el punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo (centro de la circunferencia inscrita).

Construcción de un trapecio (conociendo bases y lados)

1. Dibujar la base mayor.
2. Desde uno de sus extremos, llevar la distancia de la base menor obteniendo el punto H.
3. Desde A, trazar un arco de radio AD y desde H con el lado BC, otro que se corte al anterior y se da D.
4. Desde D, trazar un arco de radio DC (base menor) y desde B otro con distancia BC. El punto de corte es C.