Identidades Notables: Cuadrado, Suma, Diferencia y Cubo

Cuadrado de una Suma

Aplicando algunas propiedades básicas de los números, es muy fácil demostrar que: "El cuadrado de una suma es la suma de los cuadrados MÁS el doble del producto." Es decir, que el resultado de elevar al cuadrado la suma de dos números es el mismo que si sumamos los cuadrados de ambos números y añadimos el doble de su producto. Llamando a esos números "a" y "b", una demostración sería:

(a + b) (a + b) = aa + ab + ba + bb = a² + 2ab + b²

Ahora vamos a comprobar geométricamente esa misma identidad notable:

(a + b)² = a² + b² + 2ab

Cuadrado de una Diferencia

Los productos notables cumplen con ciertas reglas determinadas cuyo resultado puede escribirse sin verificar la multiplicación. Las letras representan números reales por lo que se pueden aplicar las propiedades operatorias de los números reales para comprobar la eficacia de cada fórmula. Veamos entonces qué sería el cuadrado de una diferencia.

Producto de la Suma por la Diferencia

Siendo el producto:

(a+b) . (a-b)

Suma por Diferencia

Aplicando algunas propiedades básicas de los números, es muy fácil demostrar que:

"Suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".

Es decir, que el resultado de multiplicar la suma de dos números por su diferencia es el mismo que si restamos los cuadrados de ambos números.

Llamando a esos números "a" y "b", una demostración sería:

(a + b) (a - b) = a a - a b + b a - b b = a² - b²

Ahora vamos a comprobar geométricamente esa misma identidad notable:

(a + b) (a - b) = a² - b²

Producto de la Forma (x+a)(x+b)

(x-11) (x+10) = (x) (x) + (x) (10) + (-11) (x) + (-11) (10)

(x) (x) ---> +

(x) (10) ---> +

(-11) (x) ---> -

(-11) (10) ---> -

Cubo de una Suma

(c + d)³ = c³ + 3(c²)(d) + 3(c)(d²) + d³

El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad, más el triple del cuadrado de la primera cantidad por la segunda cantidad, más el triple de la primera cantidad por la segunda al cuadrado, más el cubo de la segunda cantidad.

Cubo de una Diferencia

El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo término.