Integración Numérica: Método Trapezoidal Explicado

Método Trapezoidal

En el caso de n = 1, el intervalo de integración [a, b] queda tal cual y x₀ = a, x₁ = b; la aproximación polinomial de f(x) es una línea recta (un polinomio de primer grado p₁(x)) y la aproximación a la integral es el área del trapezoide bajo esta línea recta, como se ve en la Figura 5.2. Este método de integración se llama regla trapezoidal.

Figura 5.2 Integración numérica por medio de la regla trapezoidal

Para llevar a cabo la integración

, es preciso seleccionar una de las formas de representación del polinomio P₁(x), y como f(x) está dada para valores equidistantes de x con distancia h, la elección lógica es una de las fórmulas en diferencias finitas (hacia delante, hacia atrás o centrales). Si se eligen las diferencias finitas hacia delante, se tendrá entonces que:

f(x) ≈ p₁(x)

Donde p₁(x) es:

p₁(x) = p₁(x₀ + sh) = f(x₀) + s Δ f(x₀)

Se remplaza p₁(x) en la integral y se tiene

5.2

Para realizar la integración del lado derecho de la ecuación 5.2 es necesario tener a toda la integral en términos de la nueva variable s que, como se sabe, está dada por la expresión

x = x₀ + sh,

De ésta, la diferencial de x queda en términos de s

dx = h ds,

ya que x₀ y h son constantes.

Para que los limites de integración x₀ y x₁ queden a su vez en términos de s, se sustituyen por x en x = x₀ + sh y se despeja s, lo que da respectivamente

x₀ = x₀ + sh de donde s = 0

x₁ = x₀ + sh de donde s = 1,

Y resulta

Al integrar se tiene

como Δf(x₀) = f(x₀ + h) – f(x₀), Se llega finalmente a:

5.3

Algoritmo del método trapezoidal

Nótese que el lado derecho de la ecuación 5.3 es el área de un trapezoide de altura h y lados paralelos de longitud f(x₀) y f(x₁) (véase Fig. 5.2).

Antes de empezar a resolver ejercicios, es conveniente observar que los métodos vistos y los siguientes sirven también cuando la función f(x) está dada analíticamente y las técnicas estudiadas en el cálculo integral no dan resultado, o bien cuando esta función es imposible de integrar analíticamente. En esos casos, la tabla de puntos se elabora evaluando la función del integrando en abscisas seleccionadas adecuadamente.