Intersección Inversa y Método de Hansen: Cálculo de Coordenadas en Topografía

Intersección Inversa en Topografía

La intersección inversa es un método topográfico que permite determinar las coordenadas de un punto desconocido (P) a partir de la observación de puntos con coordenadas conocidas. Adopta dos formas principales:

Problema de Pothenot o Trisección Inversa

El problema de Pothenot, también conocido como trisección inversa, consiste en estacionar un teodolito en un punto P (cuyas coordenadas se desean determinar) y dirigir visuales a tres vértices A, B y C de coordenadas conocidas. Se miden los ángulos α y β formados por las visuales. Con estos datos, se puede determinar la posición del punto P mediante resolución gráfica o analítica.

• Método del papel transparente
• Arcos capaces

Resolución Numérica del Problema de Pothenot

La resolución numérica implica el cálculo de las coordenadas del punto P. Se procede de la siguiente manera:

1. Se calculan la longitud y el acimut de los lados *a* y *b* (distancias entre los puntos A, B y C) a partir de las coordenadas conocidas de A, B y C.
2. Se deduce el ángulo en B (ángulo ABC) por diferencia de acimutes.
3. Se calculan los ángulos A y C (ángulos internos del cuadrilátero formado).
4. Se aplica el teorema del seno en los triángulos ABP y BCP para obtener las distancias AP, BP y CP:
   • Considerando el triángulo ABP: a / sin(α) = BP / sin(A)
   • Considerando el triángulo BCP: b / sin(β) = BP / sin(C)
5. Conocidos los ángulos A y C y las distancias, se calculan las coordenadas del punto P a partir de los acimutes y distancias AP, BP y CP.

Importante: Los valores obtenidos deben coincidir. Esta comprobación solo valida el cálculo numérico, no las observaciones de campo. Se recomienda tomar una visual a un cuarto vértice para verificar la precisión de las mediciones.

Método de Hansen

El método de Hansen se utiliza para trasladar una base conocida AB (longitud y acimut) a otra base P1P2, que servirá de apoyo para trabajos topográficos. Se realiza una intersección inversa sin necesidad de estacionar en más puntos que P1 y P2, midiendo únicamente ángulos.

Este método es útil cuando desde el punto P solo se pueden observar dos vértices (A y B). Se sustituye el tercer vértice, necesario en el método de Pothenot, por un punto auxiliar, pero con la condición de poder estacionar en él.

Se procede de la siguiente forma:

1. Se miden los ángulos en P1 y P2.
2. Se resuelve el problema como una intersección inversa (similar a Pothenot).
3. Se calculan las coordenadas de P1 y P2.
4. Se utiliza la base AB conocida para calcular las coordenadas de otros puntos de interés, apoyándose en P1, P2 o la propia base AB.

Los resultados obtenidos deben ser idénticos, lo que comprueba la validez del cálculo.