Introducción al Álgebra Matricial

Las matrices son agrupaciones de números que están determinados por filas y columnas de números reales. Nos permiten ubicar el valor que necesitamos conocer. Las filas se organizan horizontalmente y las columnas verticalmente.

Dimensión de Matrices

La dimensión de una matriz está determinada por el número de filas y columnas que posee.

Tipos de Matrices

• Matriz Vector: Es aquella que tiene una sola fila o una sola columna.
• Matriz Cuadrada: El número de filas es igual al de columnas.
• Matriz Rectangular: El número de filas no es igual al de columnas.
• Matriz Nula: Todos sus elementos son cero.
• Matriz Triangular: Los elementos que forman un triángulo son cero y pueden ser superior o inferior, formando una matriz cuadrada.
• Matriz Simétrica: Los elementos opuestos a la diagonal principal son iguales.
• Matriz Antisimétrica: Matriz cuadrada en donde los elementos opuestos a la diagonal principal son opuestos.
• Matriz Diagonal: En una matriz cuadrada donde los elementos fuera de la diagonal principal son 0.
• Matriz Escalar: Matriz diagonal donde los elementos de la diagonal principal son iguales.
• Matriz Transpuesta: Se la identifica con el exponente T. Es transpuesta cuando las filas se transforman en columnas y viceversa.
• Igualdad de Matrices: Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los mismos valores en las posiciones correspondientes.

Determinante de una Matriz

El determinante de una matriz se puede calcular mediante el método de Sarrus o el método de Cramer.

• Método de Sarrus: Consiste en multiplicar y sumar las diagonales principales y secundarias para encontrar el valor del determinante de la matriz.
• Método de Cramer: Utiliza el principio de Sarrus y trata de ampliar vertical u horizontalmente la matriz para convertirla en una matriz cuadrada.

Operaciones con Matrices

Suma y Resta de Matrices

Debemos sumar o restar los elementos que ocupan la misma posición en las matrices. Las sumas y restas de matrices son posibles solo si tienen la misma dimensión.

Multiplicación de Matrices

Multiplicamos las filas de la primera matriz por cada una de las columnas de la segunda matriz. La multiplicación de matrices no es conmutativa, es decir, A x B no es necesariamente igual a B x A.

Método de Gauss-Jordan

El método de Gauss-Jordan se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Consiste en convertir la matriz de coeficientes del sistema en una matriz identidad mediante operaciones elementales de fila.

Matriz Adjunta

La matriz adjunta de una matriz cuadrada se obtiene reemplazando cada elemento de la matriz por su cofactor correspondiente y luego transponiendo la matriz resultante.

Cofactor

El cofactor de un elemento en una matriz es un valor numérico que se calcula a partir de los elementos restantes de la matriz. El signo del cofactor se determina por la posición del elemento en la matriz.

Matriz Inversa

Para encontrar la inversa de una matriz cuadrada, existen dos métodos principales:

1. Método de Sistema de Ecuaciones: Se plantea un sistema de ecuaciones donde la matriz incógnita es la matriz inversa.
2. Método del Cofactor: Se utiliza la matriz adjunta y el determinante de la matriz original para calcular la inversa.