Introducción al Cálculo Diferencial e Integral: Teoremas y Demostraciones

Conceptos Fundamentales de Cálculo Diferencial e Integral

Funciones: Inyectiva, Suprayectiva y Biyectiva

Una función f: A -> B es:

• Inyectiva: Si cualquier par de elementos distintos de A tiene imágenes distintas. Ejemplo: 2x + 1.
• Suprayectiva: Si el conjunto final (B) coincide con el conjunto imagen. Ejemplo: x³ + 3.
• Biyectiva: Si es inyectiva y suprayectiva a la vez. Ejemplo: 2x.

Cálculo Diferencial

Derivada de una función f(x)

Sea A ⊂ ℝ, f: A -> ℝ y a ∈ (a - δ, a + δ) ⊂ A para algún δ > 0. f es derivable en a si existe y es finito el límite:

lím h->0 [f(a + h) - f(a)] / h

A este límite se le llama derivada y se denota como f'(a). La ecuación de la recta tangente es: y = f(a) + f'(a)(x - a).

Continuidad de una función derivable

Si f es derivable en a, entonces f es continua en a. Esto se cumple porque para que exista la recta tangente en el punto "a" de f, ese punto debe existir y unir los dos trozos de la función f. Existen f'(a-) y f'(a+), y f'(a) = f(a).

Condición necesaria de extremo relativo

Si f tiene un mínimo relativo en a, entonces f'(a) = 0. Si en x = a hay un mínimo relativo, entonces:

• Si x -> a-, entonces f(x) decrece.
• Si x -> a+, entonces f(x) crece.

En a, la función cambia de decrecer a crecer, por lo tanto, la recta tangente a f(x) en a es horizontal, y su pendiente es 0. Entonces, m = f'(a) = 0.

Teorema de Rolle: Enunciado y Demostración

Sea f: [a, b] -> ℝ; f continua en [a, b], f derivable en (a, b), y f(a) = f(b). Entonces, existe un c ∈ (a, b) tal que f'(c) = 0.

Demostración:

Como f es continua, se verifica el teorema de Weierstrass: existen un mínimo y un máximo absolutos en [a, b].

• Si mín = máx, entonces f es constante en [a, b], y f'(x) = 0 para todo x ∈ [a, b].
• Si mín < máx, al menos uno de ellos pertenece a (a, b) y, por la condición necesaria de extremo, f'(c) = 0.

Cálculo Integral

Relación entre Primitivas

Si F₁(x) y F₂(x) son dos primitivas de f(x) en (a, b), entonces F₁(x) - F₂(x) es constante en (a, b).

Demostración:

Sea H(x) = F₁(x) - F₂(x). La derivada de H(x) es nula en (a, b) porque H'(x) = F₁'(x) - F₂'(x) = f(x) - f(x) = 0. Aplicamos el teorema de Lagrange a H(x) en el intervalo (mín(x₀, x), máx(x₀, x)). Así, H(x) - H(x₀) = H'(c)(x - x₀) = 0. Por lo tanto, H(x) = H(x₀), es decir, la función diferencia entre F₁ y F₂ es constante.

Integral de Riemann

Sea f: [a, b] -> ℝ una función acotada. Diremos que f es integrable si la integral superior (I con raya arriba) es igual a la integral inferior (I con raya abajo). Si f es integrable, llamaremos a este valor la integral de f en [a, b] y se denota por:

I = ∫ab f(x) dx

Teorema Fundamental del Cálculo

Sea f: [a, b] -> ℝ continua, c ∈ [a, b] y F(x) = ∫_c^x f(t) dt para todo x ∈ [a, b]. Entonces, F es derivable en [a, b] y para todo x ∈ [a, b], F'(x) = f(x).

Demostración:

F'(x) = lím (h->0) [∫_c^x+h f(t) dt - ∫_c^x f(t) dt] / h = lím (h->0) [∫_x^x+h f(t) dt] / h = lím (h->0) [f(σ_h)h] / h = f(x). Se ha usado el teorema del valor medio (o teorema de la media).

Regla de Barrow

Sea f: [a, b] -> ℝ continua y G una primitiva de f en [a, b]. Entonces:

∫ab f(x) dx = G(b) - G(a)

Demostración:

Sea F(x) = ∫_a^x f(t) dt para todo x ∈ [a, b]. Como G y F son primitivas de f en [a, b], se diferencian en una constante, es decir, F(x) = G(x) + C.