Introducción a la Econometría: Conceptos Fundamentales y Estimación

Introducción a la Econometría

Objetivos de la Econometría

Uno de los principales objetivos de la econometría es desarrollar modelos matemáticos que describan de manera adecuada cómo las variables económicas específicas están interrelacionadas. Una vez que se tiene un modelo, la econometría utiliza datos económicos para estimar los parámetros del modelo. Esto permite entender la magnitud y la importancia de las relaciones entre las variables.

Conceptos Fundamentales

Insesgadez

Sea un parámetro θ asociado a una variable aleatoria x. Se dice que un estimador θ̂ es insesgado de θ si se cumple: E(θ̂) = θ. En una población normal, con una m. a. s., la media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional, ya que E(x̄) = µ. Cuando un estimador insesgado tiene la varianza más pequeña que otro es más fiable, ya que está menos disperso.

Eficiencia

Inversa de la varianza de su distribución muestral.

Parámetro

Cualquier constante poblacional desconocida asociada a una variable aleatoria. Ej.: la media poblacional de una variable aleatoria, la E(x).

Muestra Aleatoria Simple

Subconjunto de la población de variables aleatorias con la misma distribución e independientes.

Variable Aleatoria Discreta

Solo puede tomar determinados valores de la recta real x -> p(x).

Variable Aleatoria Continua

v.a que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo de la recta real y la probabilidad de que tome un valor concreto es cero, x -> f(x).

Estadístico Muestral

Cualquier función de las variables que integran la muestra, cualquier función de (x₁, . . . , x_n). Ej.: moda y varianza muestral.

Parámetro Poblacional con Distribución Desconocida

Media de la distribución de una variable aleatoria.

V.A Centrada en el Origen

v.a cuya distribución está centrada en el parámetro a estimar.

Estimador Óptimo

Estimador insesgado con mínima varianza.

Error Cuadrático Medio (ECM)

Mide el promedio de los errores al cuadrado, es decir, la diferencia entre el estimador y lo que se estima. Estimador insesgado si ECM=V.

Estimador

Estadístico muestral con el que se pretende aproximar el valor de un determinado parámetro. Dependiendo de la cantidad de información que el estimador tenga del parámetro, así tendremos un buen o un mal estimador del parámetro en cuestión.

Estadístico Pivote

Variable aleatoria cuya distribución es conocida bajo la hipótesis que se quiere contrastar.

Estimador Insesgado

Variable aleatoria cuya distribución está centrada en el parámetro a estimar.

La Cota de Cramer – Rao

Demuestra la optimalidad de la media muestral.

Método de los Momentos

Consiste en tomar como estimador del momento poblacional su correspondiente momento muestral.

Función de Verosimilitud (Fisher)

Una muestra de tamaño n puede interpretarse de; 1) n realizaciones de una misma variable aleatoria. 2) 1 realización de un vector de n variables aleatorias.

Función de Densidad

Es idéntica a la función de verosimilitud, por ahora lo que vamos a considerar va a ser la muestra X y lo que va a poder variar en los parámetros será la probabilidad de obtener la muestra X fija con ese vector.

Estadístico Suficiente

Ciertas funciones de la muestra de la que depende la función de verosimilitud. El conocimiento de esta función es suficiente para encontrar la función de verosimilitud. Ej.: en la N(0,1), x̄ y S² son estudios suficientes.

Propiedades de los Estimadores Máximo-Verosímiles

1. Insesgadez asintótica si se cumple que: lim n→∞ E(θ̂_n) = θ̂.
2. Naturalidad asintótica.
3. Eficiencia asintótica (La variante mínima de Hess).
4. Consistencia: Un estimador θ̂_n es un estimador consistente de un parámetro θ si: lim n→∞ Pr (|(θ̂_n) − θ| < ε) = 1.

Cota de Cramer – Rao

Representa el nivel mínimo de incertidumbre que se puede alcanzar en una estimación.

Estimador Consistente

La condición suficiente es que el sesgo y la varianza tiendan a 0.

Intervalo de Confianza

1. Necesito conocer µ^: El mejor estimador, es el más eficiente dentro de los insesgados, µ^= x̄.
2. Estudiar la distribución del estimador (x̄).
3. Estadístico pivote: f(x) de las observaciones muestrales y del parámetro de las que debes tener una distribución conocida.

Lema de Fisher – Cochran

Establece que, bajo ciertas condiciones, la suma de cuadrados total en un experimento puede descomponerse en sumas de cuadrados que son estadísticamente independientes y que cada una sigue una distribución chi-cuadrado.

Estimación

Componente fundamental del análisis económico cuantitativo que involucra el uso de técnicas estadísticas para deducir las relaciones económicas subyacentes a partir de datos observados.